Em cada caso, calcule o comprimento do arco indicado.
y=1-ln (sen x), pi6 <= x <= pi4.

Passo 1

A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva y = 1 - ln(sin x) no intervalo x in [pi/6,,pi/4]. O conteúdo usado é a fórmula de comprimento de arco para funções y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + (f'(x))^2,dx

Passo 2

Derivando y em relação a x, temos:
y' = -ddxln(sin x) = -cos xsin x = -cot x

Passo 3

Montamos o integrando:
1 + (y')^2 = 1 + cot^2 x = csc^2 x
Como sin x>0 nesse intervalo, então raiz1 + (y')^2 = csc x. Logo
L = integralpi/6^pi/4 csc x,dx

Passo 4

Para integrar csc x, usamos a primitiva
integral csc x,dx = lnl|tan(x/2)r| + C
Então
L = [lnl(tan(x/2)r)]pi/6^pi/4

Passo 5

Avaliando nos limites,
L = lnl(tan(pi/8)r) - lnl(tan(pi/12)r)
Como tan(pi/8)=raiz2-1 e tan(pi/12)=2-raiz3, obtemos
L = lnl((raiz2-1)/(2-raiz3)r) = lnl((raiz2-1)(2+raiz3)r)

Resposta

lnl((raiz2-1)(2+raiz3)r)

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