Em cada caso, calcule as deriva das parciais fx, fy, fx x, fy y e fy x.
f(x, y)=x y e^x^2+y^2

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x y e{x2+y^2}. O conteúdo aqui envolve a regra do produto (para derivar x y) e a regra da cadeia (para derivar e{x2+y^2}).

Passo 2

Para encontrar f_x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto em x y e depois a regra da cadeia em e{x2+y^2}.
A derivada de x y em relação a x é y. A derivada de e{x2+y^2} em relação a x é e{x2+y^2}·2x.
Assim,
fx = y,e^x^2+y^2 + x,y,e^x^2+y^2·2x = y(1+2x^2)e^x^2+y^2

Passo 3

Para f_y, é análogo: x é constante.
A derivada de x y em relação a y é x. A derivada de e{x2+y^2} em relação a y é e{x2+y^2}·2y.
Logo,
fy = x,e^x^2+y^2 + x,y,e^x^2+y^2·2y = x(1+2y^2)e^x^2+y^2

Passo 4

Para f_{xx}, derivamos f_x em relação a x. Temos f_x = y(1+2x2)e{x2+y2}. Use produto e cadeia de novo.
A derivada de y(1+2x^2) em relação a x é 4xy. A derivada de e{x2+y^2} em relação a x é 2x e{x2+y^2}.
Então,
fxx = 4xy,e^x^2+y^2 + y(1+2x^2)·2x,e^x^2+y^2 = 2xy(3+2x^2)e^x^2+y^2

Passo 5

Para f_{yy}, derivamos f_y em relação a y. Como f_y = x(1+2y2)e{x2+y2}, procede-se igual a f_{xx}.
A derivada de x(1+2y^2) em relação a y é 4xy. A derivada de e{x2+y^2} em relação a y é 2y e{x2+y^2}.
Portanto,
fyy = 4xy,e^x^2+y^2 + x(1+2y^2)·2y,e^x^2+y^2 = 2xy(3+2y^2)e^x^2+y^2

Passo 6

Para f_{yx}, pode-se derivar f_x em relação a y (ou f_y em relação a x). Usando f_x = y(1+2x2)e{x2+y2}:
A derivada de y(1+2x^2) em relação a y é (1+2x^2). A derivada de e{x2+y^2} em relação a y é 2y e{x2+y^2}.
Logo,
fyx = (1+2x^2)e^x^2+y^2 + y(1+2x^2)·2y,e^x^2+y^2 = (1+2x^2)(1+2y^2)e^x^2+y^2

Resposta

f_x = y(1+2x2)e{x2+y2}, f_y = x(1+2y2)e{x2+y2}, f_{xx} = 2xy(3+2x2)e{x2+y2}, f_{yy} = 2xy(3+2y2)e{x2+y2}, f_{yx} = (1+2x2)(1+2y2)e{x2+y^2}

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