Em cada caso, calcule as deriva das parciais
e
.
Passo 1
A questão pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x y e{x2+y^2}. O conteúdo aqui envolve a regra do produto (para derivar x y) e a regra da cadeia (para derivar e{x2+y^2}).
f(x,y)=x y e{x2+y^2}. O conteúdo aqui envolve a regra do produto (para derivar x y) e a regra da cadeia (para derivar e{x2+y^2}).
Passo 2
Para encontrar f_x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto em x y e depois a regra da cadeia em e{x2+y^2}.
A derivada de x y em relação a x é y. A derivada de e{x2+y^2} em relação a x é e{x2+y^2}·2x.
Assim,
Passo 3
Para f_y, é análogo: x é constante.
A derivada de x y em relação a y é x. A derivada de e{x2+y^2} em relação a y é e{x2+y^2}·2y.
Logo,
Passo 4
Para f_{xx}, derivamos f_x em relação a x. Temos f_x = y(1+2x2)e{x2+y2}. Use produto e cadeia de novo.
A derivada de y(1+2x^2) em relação a x é 4xy. A derivada de e{x2+y^2} em relação a x é 2x e{x2+y^2}.
Então,
Passo 5
Para f_{yy}, derivamos f_y em relação a y. Como f_y = x(1+2y2)e{x2+y2}, procede-se igual a f_{xx}.
A derivada de x(1+2y^2) em relação a y é 4xy. A derivada de e{x2+y^2} em relação a y é 2y e{x2+y^2}.
Portanto,
Passo 6
Para f_{yx}, pode-se derivar f_x em relação a y (ou f_y em relação a x). Usando f_x = y(1+2x2)e{x2+y2}:
A derivada de y(1+2x^2) em relação a y é (1+2x^2). A derivada de e{x2+y^2} em relação a y é 2y e{x2+y^2}.
Logo,
Resposta
f_x = y(1+2x2)e{x2+y2}, f_y = x(1+2y2)e{x2+y2}, f_{xx} = 2xy(3+2x2)e{x2+y2}, f_{yy} = 2xy(3+2y2)e{x2+y2}, f_{yx} = (1+2x2)(1+2y2)e{x2+y^2}