Em cada caso, calcule as deriva das parciais fx, fy, fx x, fy y e fy x.

Passo 1

Estamos lidando com derivadas parciais da função f(x,y)=arctanl(tfracyxr). O conteúdo é derivada de função composta: vamos usar a regra da cadeia (para arctan(u)) e a regra do quociente (para u=tfracyx).

Passo 2

Primeiro definimos u=tfracyx e lembramos que dduarctan(u)=tfrac11+u^2. Calculando fx=partialpartial xarctan(u)=ux1+u^2. Como ux=partialx(y/x)=-y/x^2, temos
fx=-y/x^21+(y/x)^2=-yx^2+y^2

Passo 3

Para fy=partialpartial yarctan(u)=uy1+u^2 usamos uy=partialy(y/x)=1/x. Assim
fy=1/x1+(y/x)^2=xx^2+y^2

Passo 4

Agora fxx=partialxl(-tfracyx^2+y^2r). Tratando y como constante e v=x^2+y^2, escrevemos fx=-y v^-1. Então
fxx=-ycdot(-1)v^-2cdot2x=2xy(x^2+y^2)^2

Passo 5

Para fyy=partialyl(tfracxx^2+y^2r) tomamos x constante e w=x^2+y^2. Assim fy=xw^-1 implica
fyy=xcdot(-1)w^-2cdot2y=-2xy(x^2+y^2)^2

Passo 6

Por fim o misto fyx=partialx(fy)=partialxl(tfracxx^2+y^2r). Fazendo a derivada em x e tratando y constante, obtemos
fyx=(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2

Resposta

[\n f_x = -\frac{y}{x2+y2},\quad f_y = \frac{x}{x2+y2},\quad f_{xx} = \frac{2xy}{(x2+y2)^2},\quad f_{yy} = -\frac{2xy}{(x2+y2)^2},\quad f_{yx} = \frac{y^2 - x2}{(x2+y2)2}\n]

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