Em cada caso, calcule as deriva das parciais fx, fy, fx x, fy y e fy x.
f(x, y)=raizx^2+y^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f(x,y)=raizx^2+y^2+1. O conteúdo aqui é derivada parcial usando a regra da cadeia e, para as segundas, também a regra do produto.

Passo 2

Reescrevemos f como f(x,y)=(x^2+y^2+1)^1/2 e aplicamos a regra da cadeia em relação a x:
partialpartial x(x^2+y^2+1)^1/2=tfrac12(x^2+y^2+1)^-1/2cdot2x
o que simplifica para
fx=x(x^2+y^2+1)^1/2

Passo 3

De modo análogo, derivando em relação a y pela regra da cadeia, temos
fy=y(x^2+y^2+1)^1/2

Passo 4

Para fxx, derivamos fx=x,(x^2+y^2+1)^-1/2. Usamos produto e cadeia:
fxx=1cdot(x^2+y^2+1)^-1/2+xcdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2+1)^-3/2cdot2x
que dá
fxx=(x^2+y^2+1)^-1/2-x^2(x^2+y^2+1)^3/2= racy^2+1(x^2+y^2+1)^3/2

Passo 5

Para fyy, derivamos fy=y,(x^2+y^2+1)^-1/2 de forma análoga:
fyy=(x^2+y^2+1)^-1/2-y^2(x^2+y^2+1)^3/2= racx^2+1(x^2+y^2+1)^3/2

Passo 6

Finalmente, para fyx=partial/partial x,(fy), derivamos fy=y,(x^2+y^2+1)^-1/2 em relação a x:
fyx=ycdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2+1)^-3/2cdot2x=-xy(x^2+y^2+1)^3/2

Resposta

(f_x=\dfrac{x}{\sqrt{x2+y2+1}},\quad f_y=\dfrac{y}{\sqrt{x2+y2+1}},\quad f_{xx}=\dfrac{y2+1}{(x2+y2+1){3/2}},\quad f_{yy}=\dfrac{x2+1}{(x2+y2+1){3/2}},\quad f_{yx}=-\dfrac{xy}{(x2+y2+1)^{3/2}}.

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