Em cada caso, calcule as deriva das parciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
. O conteúdo aqui é derivada parcial usando a regra da cadeia e, para as segundas, também a regra do produto.
Passo 2
Reescrevemos
como
e aplicamos a regra da cadeia em relação a
:
o que simplifica para
Passo 3
De modo análogo, derivando em relação a
pela regra da cadeia, temos
Passo 4
Para
, derivamos
. Usamos produto e cadeia:
que dá
Passo 5
Para
, derivamos
de forma análoga:
Passo 6
Finalmente, para
, derivamos
em relação a
:
Resposta
(f_x=\dfrac{x}{\sqrt{x2+y2+1}},\quad f_y=\dfrac{y}{\sqrt{x2+y2+1}},\quad f_{xx}=\dfrac{y2+1}{(x2+y2+1){3/2}},\quad f_{yy}=\dfrac{x2+1}{(x2+y2+1){3/2}},\quad f_{yx}=-\dfrac{xy}{(x2+y2+1)^{3/2}}.