Em cada caso, calcule as deriva das parciais fx, fy, fx x, fy y e fy x.
f(x, y)=3 x^2+y^3

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis f(x,y)=3x^2+y^3 e pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem: fx, fy, fxx, fyy e fyx. Vamos usar as regras básicas de derivação tratando a variável não diferenciada como constante.

Passo 2

Para achar fx, derivamos f em relação a x, considerando y constante. A derivada de 3x^2 em relação a x é 6x e a de y^3 é zero. Portanto,
fx(x,y)=6x

Passo 3

Para achar fy, derivamos f em relação a y, tratando x como constante. A derivada de 3x^2 é zero e a de y^3 em relação a y é 3y^2. Assim,
fy(x,y)=3y^2

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem. Primeiro fxx: derivamos fx=6x em relação a x, obtendo
fxx(x,y)=6

Passo 5

Em seguida fyy: derivamos fy=3y^2 em relação a y, o que dá
fyy(x,y)=6y

Passo 6

Por fim calculamos fyx: derivamos fy=3y^2 em relação a x. Como não há x nessa expressão, a derivada é zero:
fyx(x,y)=0

Resposta

f_x=6x, f_y=3y^2, f_{xx}=6, f_{yy}=6y e f_{yx}=0.

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