Questão 1. (2,0 pontos) Calcule a integral dupla. integral0^1 integralx^2^2 x(1+3 y) d y d x. Esboce a região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: integral0^1 integralx^2^2 x(1+3 y) , dy , dx. O conteúdo que vamos usar é o de integrais duplas, que serve pra calcular áreas e volumes em duas dimensões. Aqui, vamos precisar entender bem os limites de integração e como integrar funções com duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é de x = 0 a x = 1, e para cada valor de x, o y varia de x^2 a 2x. Isso define a região que vamos integrar. Imagina um gráfico onde o x vai de 0 a 1, e para cada x, o y começa na curva y = x^2 e termina na reta y = 2x.

Passo 3

Vamos esboçar a região para visualizar melhor. A curva y = x^2 é uma parábola que passa pela origem e sobe suavemente. Já a reta y = 2x é uma linha que também passa pela origem, mas sobe mais rapidamente. No intervalo de x = 0 a x = 1, a reta está acima da parábola. Então, a região de integração fica entre essas duas curvas nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a y. A função que vamos integrar é (1 + 3y). A integral de 1 em relação a y é simplesmente y, e a de 3y é 32y^2. Então, integrando de y = x^2 a y = 2x, temos:
integralx^2^2x (1 + 3y) , dy = [ y + 32y^2 ]x^2^2x

Passo 5

Vamos calcular isso substituindo os limites:
(2x + 32(2x)^2) - (x^2 + 32(x^2)^2) = 2x + 32(4x^2) - x^2 - 32x^4 = 2x + 6x^2 - x^2 - 32x^4 = 2x + 5x^2 - 32x^4

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a x, de 0 a 1:
integral0^1 (2x + 5x^2 - 32x^4) , dx
A integral de 2x é x^2, de 5x^2 é 53x^3, e de -32x^4 é -310x^5. Então:
[ x^2 + 53x^3 - 310x^5 ]0^1

Passo 7

Substituindo os limites, temos:
1^2 + 53(1)^3 - 310(1)^5 - (0 + 0 - 0) = 1 + 53 - 310 = 1010 + 5030 - 930 = 1010 + 4130 = 33 + 4130 = 3110 = 3,1

Resposta

O valor da integral dupla é 3,!1.

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