Questão 1. (2,0 pontos) Calcule a integral dupla.
. Esboce a região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui:
. O conteúdo que vamos usar é o de integrais duplas, que serve pra calcular áreas e volumes em duas dimensões. Aqui, vamos precisar entender bem os limites de integração e como integrar funções com duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é de
a
, e para cada valor de
, o
varia de
a
. Isso define a região que vamos integrar. Imagina um gráfico onde o
vai de 0 a 1, e para cada
, o
começa na curva
e termina na reta
.
Passo 3
Vamos esboçar a região para visualizar melhor. A curva
é uma parábola que passa pela origem e sobe suavemente. Já a reta
é uma linha que também passa pela origem, mas sobe mais rapidamente. No intervalo de
a
, a reta está acima da parábola. Então, a região de integração fica entre essas duas curvas nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. A função que vamos integrar é
. A integral de
em relação a
é simplesmente
, e a de
é
. Então, integrando de
a
, temos:
Passo 5
Vamos calcular isso substituindo os limites:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a
, de
a
:
A integral de
é
, de
é
, e de
é
. Então:
Passo 7
Substituindo os limites, temos:
Resposta
O valor da integral dupla é
.