Em cada caso, calcule a derivada direcional da função dada, em seu ponto especificado, na direção e sentido do vetor unitário dado:
F(x, y, z)=x e^y+y e^z+z e^x ;(0,0,0) ; mu=23 i-23 j+13 k;

Passo 1

Resumindo, queremos a derivada direcional de F(x, y, z) = x e^y + y e^z + z e^x no ponto (0,0,0) na direção do vetor unitário mu = l(tfrac23, -tfrac23, tfrac13r). O assunto é derivada direcional, e vamos usar a noção de gradiente e produto escalar.

Passo 2

A derivada direcional de F na direção de um vetor unitário u é dada por nabla F cdot u. Em outras palavras, basta calcular o gradiente de F e fazer o produto escalar com u.
DuF = nabla F cdot u

Passo 3

Agora, calculamos o gradiente de F, ou seja, as derivadas parciais:
partial Fpartial x = e^y + z e^x, partial Fpartial y = x e^y + e^z, partial Fpartial z = y e^z + e^x

Passo 4

Em seguida, avaliamos esse gradiente no ponto (0,0,0). Como e^0 = 1 e x=y=z=0, temos:
nabla F(0,0,0) = (1,,1,,1)

Passo 5

Por fim, fazemos o produto escalar entre nabla F(0,0,0) e mu:
DmuF(0,0,0) = (1,1,1) cdot l(tfrac23, -tfrac23, tfrac13r) = tfrac23 - tfrac23 + tfrac13 = tfrac13

Resposta

\tfrac{1}{3}

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