Calcule:
cotg 165^circ, sec 255^circ
cossec 15^circ
$ \operatorname{sem} 105^{\circ}-\cos 75^{\circ}$

Passo 1

Vamos resolver os seguintes cálculos trigonométricos: cot 165^circ, sec 255^circ, csc 15^circ e sin 105^circ - cos 75^circ. Aqui, vamos usar conceitos de funções trigonométricas como cotangente, secante, cosecante, seno e cosseno, além de entender em quais quadrantes esses ângulos estão para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular cot 165^circ. A cotangente é o inverso da tangente, então cot theta = 1tan theta. Sabemos que 165^circ está no segundo quadrante, onde a tangente é negativa.

Passo 3

Calculando tan 165^circ: Podemos usar a identidade tan (180^circ - theta) = -tan theta. Portanto, tan 165^circ = tan (180^circ - 15^circ) = -tan 15^circ. Sabendo que tan 15^circ approx 0,2679, temos tan 165^circ approx -0,2679.

Passo 4

Agora, cot 165^circ = 1tan 165^circ approx 1-0,2679 approx -3,732.

Passo 5

Vamos calcular sec 255^circ. A secante é o inverso do cosseno, ou seja, sec theta = 1cos theta. O ângulo 255^circ está no terceiro quadrante, onde o cosseno é negativo.

Passo 6

Calculando cos 255^circ: Usamos cos (180^circ + theta) = -cos theta. Portanto, cos 255^circ = cos (180^circ + 75^circ) = -cos 75^circ. Sabendo que cos 75^circ approx 0,2588, temos cos 255^circ approx -0,2588.

Passo 7

Agora, sec 255^circ = 1cos 255^circ approx 1-0,2588 approx -3,864.

Passo 8

Vamos calcular csc 15^circ. A cosecante é o inverso do seno, ou seja, csc theta = 1sin theta. Sabemos que 15^circ está no primeiro quadrante, onde o seno é positivo.

Passo 9

Calculando sin 15^circ approx 0,2588, então csc 15^circ = 10,2588 approx 3,864.

Passo 10

Por último, vamos calcular sin 105^circ - cos 75^circ. Sabemos que 105^circ está no segundo quadrante e 75^circ no primeiro.

Passo 11

Calculando sin 105^circ: Podemos usar a identidade sin (90^circ + theta) = cos theta. Portanto, sin 105^circ = cos 15^circ approx 0,9659.

Passo 12

Calculando cos 75^circ approx 0,2588.

Passo 13

Portanto, sin 105^circ - cos 75^circ approx 0,9659 - 0,2588 = 0,7071.

Resposta

cot 165^circ approx -3,732, sec 255^circ approx -3,864, csc 15^circ approx 3,864 e sin 105^circ - cos 75^circ approx 0,7071.

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