Em cada caso, calcule a derivada direcional da função dada, em seu ponto especificado, na direção e sentido do vetor unitário dado:
;
Passo 1
O problema pede a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor unitário
. Vamos usar o conceito de gradiente e a definição de derivada direcional.
Passo 2
A derivada direcional de
em direção a um vetor unitário
no ponto
é dada por
Então nosso plano é: (i) calcular o gradiente
; (ii) avaliar
em
; (iii) fazer o produto escalar com
.
Passo 3
Para achar
, usamos a regra da cadeia nas derivadas parciais de
. Assim:
Logo,
Passo 4
Agora avaliamos em
. Primeiro:
Também:
Substituindo,
Passo 5
Como
já é unitário, calculamos
Cada termo reduz a:
que, colocando em denominar comum 12, dá .
que, colocando em denominar comum 12, dá