Em cada caso, calcule a derivada direcional da função dada, em seu ponto especificado, na direção e sentido do vetor unitário dado:
F(x, y, z)=sen(x y z) ;(12 cdot 13, pi) ; mu=1raiz3 i+1raiz3 j-1raiz3 k;

Passo 1

O problema pede a derivada direcional da função F(x,y,z)=sin(xyz) no ponto P=(1/2,,1/3,,pi) na direção do vetor unitário mu=(1/raiz3,,1/raiz3,,-1/raiz3). Vamos usar o conceito de gradiente e a definição de derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de F em direção a um vetor unitário mu no ponto P é dada por
DmuF(P)=nabla F(P)cdotmu
Então nosso plano é: (i) calcular o gradiente nabla F; (ii) avaliar nabla F em P; (iii) fazer o produto escalar com mu.

Passo 3

Para achar nabla F, usamos a regra da cadeia nas derivadas parciais de F(x,y,z)=sin(xyz). Assim:
partial Fpartial x=cos(xyz)cdot yz, partial Fpartial y=cos(xyz)cdot xz, partial Fpartial z=cos(xyz)cdot xy
Logo,
nabla F(x,y,z)=(cos(xyz)cdot yz,;cos(xyz)cdot xz,;cos(xyz)cdot xy)

Passo 4

Agora avaliamos em P=(1/2,1/3,pi). Primeiro:
xyz=tfrac12cdottfrac13cdotpi=tfracpi6, cosl(tfracpi6r)=tfracraiz32
Também:
yz=tfrac13pi=tfracpi3, xz=tfrac12pi=tfracpi2, xy=tfrac12cdottfrac13=tfrac16
Substituindo,
nabla F(P)=l(tfracraiz32cdottfracpi3,;tfracraiz32cdottfracpi2,;tfracraiz32cdottfrac16r)=l(tfracpiraiz36,;tfracpiraiz34,;tfracraiz312r)

Passo 5

Como mu já é unitário, calculamos
DmuF(P)=nabla F(P)cdotmu =piraiz36cdot1raiz3+piraiz34cdot1raiz3+raiz312cdotl(-1raiz3r)
Cada termo reduz a:
(5pi-1)/12
que, colocando em denominar comum 12, dá .

Resposta

(5pi-1)/12

Exercícios relacionados