Qual é o domínio e o periodo das seguintes funções reais?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o período da função real dada por:
Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente sobre a função tangente. Vamos ver onde a função está definida (domínio) e qual é a repetição dela ao longo do eixo $ x $ (período).
Passo 2
Encontrando o Domínio:
A função tangente, $ \tan(\theta) $, está definida para todos os reais, exceto nos pontos onde o cosseno de $ \theta $ é zero, ou seja, onde $ \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi $ para qualquer inteiro $ k $.
No nosso caso, temos:
Então, para evitar que a tangente fique indefinida, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade para $ x $:
- Adicionamos $ \frac{\pi}{3} $ aos dois lados:
- Simplificamos os termos:
- Dividimos ambos os lados por 2 para isolar $ x $:
Portanto, o domínio de $ f(x) $ é todos os números reais exceto:
Passo 3
Encontrando o Período:
O período da função tangente básica $ \tan(\theta) $ é $ \pi $. Quando temos uma função transformada como $ \tan(bx + c) $, o período muda de acordo com o coeficiente $ b $.
A fórmula para o período é:
No nosso caso, temos $ b = 2 $, então:
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \tan\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) $ é:
E o período da função é: