Estude a variação das seguintes funções reais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para estudar a variação da função real $ f(x) = \sin(2x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(2x) $. Isso significa que vamos analisar onde a função está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente de derivadas e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando identidades trigonométricas para facilitar nossa vida na hora de derivar. Lembrando que:
Aplicando essa identidade nas duas partes da função:
Agora, somando as duas expressões:
Então, a função simplificada é:
Passo 3
Agora que simplificamos a função para $ f(x) = \sin(3x) $, vamos calcular a derivada dessa função. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
A derivada de $ \sin(kx) $ é $ k \cdot \cos(kx) $. Então, aplicando isso:
Passo 4
Precisamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como $ \cos(3x) $ sempre existe, vamos resolver:
Sabemos que $ \cos(\theta) = 0 $ quando $ \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é um inteiro. Então:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 5
Vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) = 3 \cdot \cos(3x) $ em cada intervalo definido pelos pontos críticos encontrados. Isso nos dirá onde a função está aumentando ou diminuindo.
- Quando $ \cos(3x) > 0 $: $ f’(x) > 0 $ → função está crescendo.
- Quando $ \cos(3x) < 0 $: $ f’(x) < 0 $ → função está decrescendo.
Sabendo que a função cosseno é periódica e alterna entre positivo e negativo, podemos concluir que a função $ f(x) = \sin(3x) $ alterna entre crescimento e decrescimento a cada intervalo de $ \frac{\pi}{3} $.
Resposta
A função $ f(x) = \sin(3x) $ está crescendo nos intervalos onde $ \cos(3x) > 0 $ e decrescendo onde $ \cos(3x) < 0 $. Especificamente, para cada ciclo de $ 3x $, a função cresce em $ \left( \frac{2k\pi}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \right) $ e decresce em $ \left( \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \right) $, onde $ k $ é um número inteiro.