Sabendo que
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente sabe que
e
, com
no intervalo
. A matéria que vamos mexer aqui é trigonometria, especificamente funções trigonométricas e identidades. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de tangente da soma de ângulos e entender como encontrar a tangente de
a partir do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a
. Sabemos que
. Lembrando que
, precisamos descobrir
.
Passo 3
Para achar
, usamos a identidade trigonométrica fundamental:
. Substituindo o valor de
:
Passo 4
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Como
está no segundo quadrante (
), o cosseno aí é negativo. Então:
Passo 5
Com
e
conhecidas, podemos calcular
:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos usar a fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
Substituindo os valores:
Resposta
Finalmente, simplificando a fração: