Em cada caso, calcule a derivada direcional da função dada, em seu ponto especificado, na direção e sentido do vetor unitário dado:
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Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional da função F(x,y)=ln(x²+y²) no ponto (1,1) na direção do vetor unitário μ=(1/√10, 3/√10). O conteúdo aqui é derivada direcional, que usamos via gradiente e produto escalar.
Passo 2
Para achar o gradiente ∇F, lembramos que F(x,y)=ln(u) com u=x²+y². Aplicando a regra da cadeia, obtemos ∂F/∂x=2x/(x²+y²) e ∂F/∂y=2y/(x²+y²).
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em (1,1). Como x²+y²=1+1=2, temos ∇F(1,1)=(2·1/2, 2·1/2)=(1,1).
Passo 4
A derivada direcional na direção μ é dada por D_μF(1,1)=∇F(1,1)·μ, isto é, o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
Passo 5
Calculamos o produto escalar: (1,1)·(1/√10, 3/√10)=(1+3)/√10=4/√10. Racionalizando o denominador, fica 2√10/5.