Use a regra da cadeia para achar d z / d t ou d w / d t
w=x e^y / z, x=t^2, y=1-5, z=1+2 t

Passo 1

O enunciado dá a função composta w = x e^y/z com as dependências x = t^2, y = 1 - 5t e z = 1 + 2t. O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivar funções compostas, além de derivadas de produto e exponencial.

Passo 2

Vamos primeiro derivar cada variável intermediária em relação a t:
dxdt = ddt(t^2) = 2t,
dydt = ddt(1 - 5t) = -5,
dzdt = ddt(1 + 2t) = 2

Passo 3

Agora definimos u = yz. Para aplicar a regra da cadeia em e^u, precisamos de du/dt. Usamos a fórmula da derivada de quociente:
dudt = z,dy/dt - y,dz/dtz^2 = (1+2t)(-5) - (1-5t)cdot 2(1+2t)^2
Calculando o numerador:
(1+2t)(-5) - 2(1-5t) = -5 -10t -2 +10t = -7
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dudt = -7(1+2t)^2

Passo 4

Agora derivamos w = x e^u usando a regra do produto e a regra da cadeia:
dwdt = dxdt,e^u + x,e^u,dudt
Substituindo x, dx/dt, u e du/dt:
dwdt = 2t,e^yz + t^2,e^yzl(-7(1+2t)^2r)
E como y/z = (1-5t)/(1+2t), fica:
dwdt = 2t,e^1-5t1+2t - 7t^2(1+2t)^2,e^1-5t1+2t

Resposta

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