Calcule, justificando bem cada passagem, lim x -infty[raiz[4]x^4-x^3+x].
Dica para o limite acima: use que raiz[4]x^4+x^3+x=|x| raiz[4]1+1x+x stackrelx <= 0=-x[raiz[4]1+1x-1], em seguida tome A=raiz[4]1+1x e B=1 use que (A-B)=A^4-B^4A^3+A^2 B+A B^2+B^3, A neq B. A dica vale para o exercício 7 com as devidas adaptações.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto -infty[raiz[4]x^4-x^3+x]. O conteúdo envolve limites no infinito e manipulação de expressões com radicais. Vamos precisar fatorar dentro da raiz e usar a técnica de racionalização por diferença de potências.

Passo 2

Observe que raiz[4]x^4-x^3 = raiz[4]x^4(1 - tfrac1x). Como raiz[4]x^4 = |x|, fica:
raiz[4]x^4-x^3 = |x|,(1 - tfrac1x)^1/4

Passo 3

Para xto -infty, temos x<0, então |x| = -x. Substituindo na expressão do limite, temos:
raiz[4]x^4-x^3 + x = -x,(1 - tfrac1x)^1/4 + x = -xl[(1 - tfrac1x)^1/4 - 1r]

Passo 4

Para simplificar o colchete, defina A = (1 - tfrac1x)^1/4 e B = 1. Usando a identidade
A - B = A^4 - B^4A^3 + A^2B + AB^2 + B^3,
com A^4 = 1 - tfrac1x e B^4 = 1, obtém-se A^4 - B^4 = -tfrac1x. Logo,
A - B = -tfrac1xA^3 + A^2 + A + 1

Passo 5

Assim, a expressão do limite fica:
-x,(A - B) = -x,-tfrac1xA^3 + A^2 + A + 1 = 1A^3 + A^2 + A + 1

Passo 6

Por fim, quando x to -infty, temos tfrac1xto 0 e A = (1 - tfrac1x)^1/4to 1. Logo,
A^3 + A^2 + A + 1 to 1+1+1+1 = 4 Portanto, o limite vale tfrac14.

Resposta

1/4

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