Em cada caso, calcule a derivada direcional da função dada, em seu ponto especificado, na direção e sentido do vetor unitário dado:
F(x, y)=y^2 tg^2 x ;(pi4, 1) ; mu=-raiz32 i+12 j;

Passo 1

A gente quer calcular a derivada direcional de F(x,y)=y^2tan^2 x no ponto (pi/4,1) na direção do vetor unitário mu=(-tfracraiz32,tfrac12). O conteúdo aqui é derivada direcional, e para isso precisamos usar a definição DmuF(p)=nabla F(p)cdotmu.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de F:
partial Fpartial x(x,y)=y^2cdot2tan xsec^2 x=2y^2,tan xsec^2 x
partial Fpartial y(x,y)=2y,tan^2 x

Passo 3

Agora avaliamos as parciais no ponto (pi/4,1). Como tan(pi/4)=1 e sec^2(pi/4)=2:
partial Fpartial xg|(pi/4,1)=2cdot1^2cdot1cdot2=4,
partial Fpartial yg|(pi/4,1)=2cdot1cdot1^2=2
Portanto nabla F(pi/4,1)=(4,2).

Passo 4

Por fim fazemos o produto escalar com mu=(-tfracraiz32,tfrac12):
DmuF(pi/4,1)=,(4,2)cdotl(-tfracraiz32,tfrac12r) =4l(-tfracraiz32r)+2l(tfrac12r)=-2raiz3+1

Resposta

-2\sqrt{3}+1

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