A temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y, z) de um sólido é: T(X, y, z)=x y z(1+x^2+y^2+z^2)^-1; encontre a partir de (1,1,1) a direção e o sentido da mínima taxa de variação de T; qual é este valor mínimo?

Passo 1

O enunciado pede a direção e o sentido da variação mínima de T a partir do ponto (1,1,1) e o valor dessa taxa mínima. Isso envolve o conceito de derivada direcional e gradiente: a direção de variação mais rápida decrescente é dada pelo vetor −∇T normalizado, e o valor mínimo da derivada direcional é −|∇T|.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de T(x,y,z)=dfracxyz1+x^2+y^2+z^2. Seja D=1+x^2+y^2+z^2. Usando a regra do quociente,
partial Tpartial x=(yz),D - xyz,(2x)D^2
e analogamente para partial T/partial y e partial T/partial z.

Passo 3

No ponto (1,1,1) temos D=1+1+1+1=4 e xyz=1. Então
partial Tpartial x(1,1,1)=1cdot1cdot4 - 1cdot1cdot2cdot14^2=4-216=18Pela simetria, partial T/partial y=1/8 e partial T/partial z=1/8. Portanto
nabla T(1,1,1)=l(tfrac18,tfrac18,tfrac18r)

Passo 4

A direção de variação mínima (maior decrescimento) é o vetor −∇T normalizado. Primeiro a norma:
|nabla T|=raizl(tfrac18r)^2+l(tfrac18r)^2+l(tfrac18r)^2=raiz38Logo o vetor unitário nessa direção é
umin=-nabla T|nabla T|=l(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r)

Passo 5

Por fim, a taxa mínima de variação é a derivada direcional nessa direção, que vale -|nabla T|.

Resposta

A direção e sentido da mínima taxa de variação é o vetor unitário
l(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r)
e o valor mínimo da taxa de variação é
-tfracraiz38

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