A temperatura em graus Celsius em um ponto
de um sólido é:
; encontre a partir de
a direção e o sentido da mínima taxa de variação de T; qual é este valor mínimo?
Passo 1
O enunciado pede a direção e o sentido da variação mínima de T a partir do ponto
e o valor dessa taxa mínima. Isso envolve o conceito de derivada direcional e gradiente: a direção de variação mais rápida decrescente é dada pelo vetor −∇T normalizado, e o valor mínimo da derivada direcional é −|∇T|.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de
. Seja
. Usando a regra do quociente,
e analogamente para
Passo 3
No ponto
temos
e
. Então
Passo 4
A direção de variação mínima (maior decrescimento) é o vetor −∇T normalizado. Primeiro a norma:
Passo 5
Por fim, a taxa mínima de variação é a derivada direcional nessa direção, que vale
.
Resposta
A direção e sentido da mínima taxa de variação é o vetor unitário
e o valor mínimo da taxa de variação é
e o valor mínimo da taxa de variação é