Em cada caso, calcule a derivada direcional
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = e^{x} \sin(y) $ no ponto $ P = (0, \frac{\pi}{3}) $ na direção do vetor $ \vec{u} = -6\vec{i} + 8\vec{j} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular gradientes e como normalizar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Para encontrá-la, precisamos do gradiente da função e do vetor unitário na direção de $ \vec{u} $.
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente de $ f(x, y) = e^{x} \sin(y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (0, \frac{\pi}{3}) $:
Passo 5
Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de $ \vec{u} = -6\vec{i} + 8\vec{j} $. Para isso, calculamos o comprimento de $ \vec{u} $:
Então, o vetor unitário $ \vec{u}_{unit} $ é:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}} $ é igual a $ -\frac{3\sqrt{3}}{10} + \frac{2}{5} $.