Em cada caso, calcule a derivada direcional partial fpartial u.
f(x, y)=e^x sen(y), P=(0, pi / 3), u=-6 i+8 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = e^{x} \sin(y) $ no ponto $ P = (0, \frac{\pi}{3}) $ na direção do vetor $ \vec{u} = -6\vec{i} + 8\vec{j} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular gradientes e como normalizar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Para encontrá-la, precisamos do gradiente da função e do vetor unitário na direção de $ \vec{u} $.

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente de $ f(x, y) = e^{x} \sin(y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
f(x, y) = e^x sin(y)
Calculando as derivadas:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
partial fpartial x = e^x sin(y)
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (0, \frac{\pi}{3}) $:

Passo 5

Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de $ \vec{u} = -6\vec{i} + 8\vec{j} $. Para isso, calculamos o comprimento de $ \vec{u} $:
u = -6i + 8j
Então, o vetor unitário $ \vec{u}_{unit} $ é:
u

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
partial fpartial u = nabla f cdot uunit
Calculando o produto escalar:
partial fpartial u = ( raiz32, 12 ) cdot ( -35, 45 ) = ( raiz32 times -35 ) + ( 12 times 45 )
= -3raiz310 + 410 = -3raiz310 + 25

Resposta

A derivada direcional $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}} $ é igual a $ -\frac{3\sqrt{3}}{10} + \frac{2}{5} $.

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