Em cada caso calcule as derivadas zx, zy, zx x, zy y e zy x :
(f) z=arccos (x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
z = arccos(xy)
Aqui vamos usar a regra da cadeia (para arccos(u)) e a regra do produto (para u=xy).

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas de primeira ordem. Como
ddul(arccos(u)r) = -1raiz1-u^2
e u=xy, temos
zx = -1raiz1-(xy)^2;partialpartial x(xy) = -yraiz1-x^2y^2,
zy = -1raiz1-(xy)^2;partialpartial y(xy) = -xraiz1-x^2y^2

Passo 3

Agora zxx=partialx(zx). Tomando
zx = -y,(1 - x^2y^2)^-12,
aplicamos a regra da cadeia:
zxx = -yl(-tfrac12r)(1 - x^2y^2)^-32cdot(-2xy^2) = -x,y^3(1 - x^2y^2)^tfrac32

Passo 4

De modo análogo, para
zy = -x,(1 - x^2y^2)^-12,
temos
zyy = -xl(-tfrac12r)(1 - x^2y^2)^-32cdot(-2x^2y) = -x^3,y(1 - x^2y^2)^tfrac32

Passo 5

Por fim,
zyx = partialpartial xl(-xraiz1-x^2y^2r)
Derivando obtemos
zyx = -1raiz1-x^2y^2 -x,( -2xy^2)2,(1-x^2y^2)^tfrac32 = -1(1-x^2y^2)^tfrac32
Note que zxy=zyx, como esperado para funções suficientemente suaves.

Resposta

zx = -yraiz1 - x^2y^2,
zy = -xraiz1 - x^2y^2,
zxx = -x,y^3(1 - x^2y^2)^tfrac32,
zyy = -x^3,y(1 - x^2y^2)^tfrac32,
zyx = -1(1 - x^2y^2)^tfrac32

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