Simplifique as expressões abaixo. Expressões como estas são comuns em cálculo ao aplicar a regra do quociente.
3(1+x)^1 / 3-x(1+x)^-2 / 3(1+x)^2 / 3

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão com potências fracionárias
3(1+x)^1/3-x(1+x)^-2/3(1+x)^2/3
O conteúdo usado aqui é a regra de potências para divisão: ao dividir termos com mesma base, subtraímos expoentes.

Passo 2

Aplicamos a regra de divisão de potências em cada parcela do numerador:
3(1+x)^1/3(1+x)^2/3=3,(1+x)^1/3-2/3=3,(1+x)^-1/3,
x(1+x)^-2/3(1+x)^2/3=x,(1+x)^-2/3-2/3=x,(1+x)^-4/3
Logo a expressão vira
3,(1+x)^-1/3-x,(1+x)^-4/3

Passo 3

Fatoramos o menor expoente em comum, que é (1+x)^-4/3:
3,(1+x)^-1/3=3,(1+x)^-4/3(1+x)^1,
portanto
3,(1+x)^-1/3-x,(1+x)^-4/3 =(1+x)^-4/3l[3(1+x)-xr]
Dentro dos colchetes temos
3(1+x)-x=3+3x-x=3+2x

Passo 4

Reescrevendo o fator com expoente negativo no denominador, obtemos
(1+x)^-4/3(3+2x) =3+2x(1+x)^4/3

Resposta

3+2x(1+x)^4/3

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