Mostre que não obstante x=0 não anular o denominador 1+x de 1+1x1+x, a reta x=0 é uma assíntota vertical da função g(x)=1+1x1+x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, apesar de x=0 não anular o denominador 1+x na expressão
g(x)=1+1x1+x,
a reta x=0 é uma assíntota vertical de g. O conteúdo principal é a definição de assíntota vertical (limites unilaterais que tendem a pminfty) e o cálculo desses limites em torno de x=0.

Passo 2

Primeiro simplificamos g(x) para pontos onde tudo esteja bem definido, isto é, xneq0 e xneq -1. Note que
1+1x=x+1x,
logo, para xneq0,-1,
g(x) =x+1x1+x =x+1x,(1+x) =1x

Passo 3

A reta x=a é assíntota vertical de uma função f se pelo menos uma das duas limitações
limxto a^+f(x) ou limxto a^-f(x) for +infty ou -infty.
Como para xneq0,-1 temos g(x)=1/x, calculamos o limite pela direita em 0:
limxto0^+g(x) =limxto0^+1x =+infty

Passo 4

Agora o limite pela esquerda em 0:
limxto0^-g(x) =limxto0^-1x =-infty

Passo 5

Como as duas limitações unilaterais em x=0 são pminfty, concluímos que a reta x=0 é uma assíntota vertical de g.

Resposta

A reta x=0 é assíntota vertical de g.

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