Inverter a ordem de integração.
\int_{0}^{\frac{R \sqrt{2}}{2}}\left[\int_{0}^{x} f d y\right] d x+\int_{\frac{R \sqrt{2}}{2}}^{R}\left[\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} f d y\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da soma
\int_{0}^{\frac{R \sqrt{2}}{2}}\left[\int_{0}^{x} f\, dy\right] dx+\int_{\frac{R \sqrt{2}}{2}}^{R}\left[\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} f\, dy\right] dx.
Informações dadas que vamos usar:
\text{Primeira parte: }0\le x\le\frac{R\sqrt{2}}{2},\quad 0\le y\le x.
\text{Segunda parte: }\frac{R\sqrt{2}}{2}\le x\le R,\quad 0\le y\le \sqrt{R^{2}-x^{2}}.
A função integranda está escrita como f (vou interpretar como f(x,y) para deixar explícito que depende de x e y). O objetivo é reescrever toda a integral como uma integral iterada com dy por fora e dx por dentro (ou seja, trocar a ordem).

Passo 2

Primeiro descrevemos o domínio D do plano (x,y) que a integral cobre. Pelo enunciado,
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac{R\sqrt{2}}{2},\;0\le y\le x\}\;\cup\;\{(x,y)\mid \tfrac{R\sqrt{2}}{2}\le x\le R,\;0\le y\le\sqrt{R^{2}-x^{2}}\}.
Geometricamente, isso é a união do triângulo abaixo da reta y=x (para x pequenos) com a região sob o arco superior do círculo x^{2}+y^{2}=R^{2} (para x maiores). Essas duas partes se encontram quando a reta e o círculo se intersectam.

Passo 3

Calculamos a interseção entre y=x e y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}. Igualando:
x=\sqrt{R^{2}-x^{2}}.
Elevando ao quadrado,
x^{2}=R^{2}-x^{2}\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=R^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{R^{2}}{2}.
Como x\ge 0 no domínio dado, temos
x=\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{R\sqrt{2}}{2}.
O y correspondente é igual a x, então o ponto de interseção é \left(\frac{R\sqrt{2}}{2},\frac{R\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 4

Com a interseção conhecida, determinamos os valores possíveis de y no domínio D. O menor y é 0 (pois ambas as integrais internas começam em 0). O maior y ocorre no ponto de interseção e vale \frac{R\sqrt{2}}{2}. Logo
0\le y\le \frac{R\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Para um y fixo com 0\le y\le \frac{R\sqrt{2}}{2}, quais valores de x pertencem a D?
  • Na parte que veio do triângulo (primeira soma), os pontos com dado y têm x satisfazendo x\ge y (porque y\le x) e x\le \frac{R\sqrt{2}}{2}.
  • Na parte que veio do círculo (segunda soma), os pontos com dado y têm x satisfazendo x\le \sqrt{R^{2}-y^{2}} (pois y\le\sqrt{R^{2}-x^{2}} equivale a x\le\sqrt{R^{2}-y^{2}}) e x\ge \frac{R\sqrt{2}}{2}.
Juntando as duas partes, para esse y qualquer os x possíveis vão desde o menor valor x=y até o maior valor x=\sqrt{R^{2}-y^{2}}. Portanto, para todo y\in\left[0,\tfrac{R\sqrt{2}}{2}\right] temos
y\le x\le \sqrt{R^{2}-y^{2}}.

Passo 6

Escrevemos a integral com a ordem invertida usando os limites obtidos. Substituindo a descrição do domínio por y externo e x interno:
\int_{0}^{\frac{R\sqrt{2}}{2}}\left[\int_{0}^{x} f(x,y)\, dy\right] dx+\int_{\frac{R\sqrt{2}}{2}}^{R}\left[\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} f(x,y)\, dy\right] dx = \int_{0}^{\frac{R\sqrt{2}}{2}}\left[\int_{y}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} f(x,y)\, dx\right] dy.

Resposta

\int_{0}^{\frac{R\sqrt{2}}{2}}\left[\int_{y}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} f(x,y)\, dx\right] dy

Exercícios relacionados