Inverter a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da soma
Informações dadas que vamos usar:
A função integranda está escrita como
(vou interpretar como
para deixar explícito que depende de
e
). O objetivo é reescrever toda a integral como uma integral iterada com
por fora e
por dentro (ou seja, trocar a ordem).
Passo 2
Primeiro descrevemos o domínio
do plano
que a integral cobre. Pelo enunciado,
Geometricamente, isso é a união do triângulo abaixo da reta
(para
pequenos) com a região sob o arco superior do círculo
(para
maiores). Essas duas partes se encontram quando a reta e o círculo se intersectam.
Passo 3
Calculamos a interseção entre
e
. Igualando:
Elevando ao quadrado,
Como
no domínio dado, temos
O
correspondente é igual a
, então o ponto de interseção é
.
Passo 4
Com a interseção conhecida, determinamos os valores possíveis de
no domínio
. O menor
é
(pois ambas as integrais internas começam em
). O maior
ocorre no ponto de interseção e vale
. Logo
Passo 5
Para um
fixo com
, quais valores de
pertencem a
?
- Na parte que veio do triângulo (primeira soma), os pontos com dado
têm satisfazendo (porque ) e . - Na parte que veio do círculo (segunda soma), os pontos com dado
têm satisfazendo (pois equivale a ) e .
Juntando as duas partes, para esse
qualquer os
possíveis vão desde o menor valor
até o maior valor
. Portanto, para todo
temos
Passo 6
Escrevemos a integral com a ordem invertida usando os limites obtidos. Substituindo a descrição do domínio por
externo e
interno: