Em cada caso, calcule a integral: f(x, y)=x, D:lx^2+y^2 <= 4 x^2+y^2 >= 2 x x >= 0, y >= 0 Passo 1Temos que calcular a integral dupla de O método mais natural aqui é passar para coordenadas polares, em que e . Passo 2Em coordenadas polares as condições viram ,r^2<= 4Rightarrow r<= 2, ,r^2>= 2rcosthetaRightarrow r>= 2costheta, e x>=0,y>=0Rightarrow 0<=theta<=pi/2. Logo D=l(r,theta)mid 0<=theta<= tfracpi2,;2costheta<= r<= 2r Passo 3A integral fica integral duplaDx,dA =integral0^pi/2!integral2costheta^2l(rcosthetar),(r,dr,dtheta) =integral0^pi/2!integral2costheta^2r^2costheta;dr,dtheta Passo 4Integramos primeiro em r: integral2costheta^2r^2,dr =l[tfracr^33r],r=2costheta^,r=2 =83-8cos^3theta3 =83l(1-cos^3thetar) Assim integral duplaDx,dA =integral0^pi/2costheta;83l(1-cos^3thetar),dtheta =83integral0^pi/2l(costheta-cos^4thetar),dtheta Passo 5Separamos em duas integrais 83integral0^pi/2costheta,dtheta ;-; 83integral0^pi/2cos^4theta,dtheta Sabemos que integral0^pi/2costheta,dtheta=1 e, usando a identidade cos^4theta=tfrac18(3+4cos2theta+cos4theta), integral0^pi/2cos^4theta,dtheta =18l[3cdotpi2+0+0r] =3pi16 Passo 6Substituindo os valores: integral duplaDx,dA =83cdot 1 ;-; 83cdot3pi16 =83-pi2 Resposta boxed83-pi2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão 4 (2.0 pts) Expresse a integral abaixo em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida. integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral0^4 raiz1+x^2+y^2 d z d y d x Questão 2 (4.0 pts.) Calcule as integrais abaixo: integral0^3 integralx^raiz18-x^2 sen(x^2+y^2+1) d y d x, Encontre a série de Fourier da função descrita por: f(t)=|t-2|, se 0 <= t<4 e f(t+4)=f(t)