Em cada caso, calcule a integral:
f(x, y)=x, D:lx^2+y^2 <= 4 x^2+y^2 >= 2 x x >= 0, y >= 0

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla de
O método mais natural aqui é passar para coordenadas polares, em que e .

Passo 2

Em coordenadas polares as condições viram
,r^2<= 4Rightarrow r<= 2,
,r^2>= 2rcosthetaRightarrow r>= 2costheta,
e x>=0,y>=0Rightarrow 0<=theta<=pi/2.
Logo
D=l(r,theta)mid 0<=theta<= tfracpi2,;2costheta<= r<= 2r

Passo 3

A integral fica
integral duplaDx,dA =integral0^pi/2!integral2costheta^2l(rcosthetar),(r,dr,dtheta) =integral0^pi/2!integral2costheta^2r^2costheta;dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral2costheta^2r^2,dr =l[tfracr^33r],r=2costheta^,r=2 =83-8cos^3theta3 =83l(1-cos^3thetar)
Assim
integral duplaDx,dA =integral0^pi/2costheta;83l(1-cos^3thetar),dtheta =83integral0^pi/2l(costheta-cos^4thetar),dtheta

Passo 5

Separamos em duas integrais
83integral0^pi/2costheta,dtheta ;-; 83integral0^pi/2cos^4theta,dtheta
Sabemos que
integral0^pi/2costheta,dtheta=1
e, usando a identidade cos^4theta=tfrac18(3+4cos2theta+cos4theta),
integral0^pi/2cos^4theta,dtheta =18l[3cdotpi2+0+0r] =3pi16

Passo 6

Substituindo os valores:
integral duplaDx,dA =83cdot 1 ;-; 83cdot3pi16 =83-pi2

Resposta

boxed83-pi2

Exercícios relacionados