Questão 2 (4.0 pts.) Calcule as integrais abaixo:
integral0^3 integralx^raiz18-x^2 sen(x^2+y^2+1) d y d x,

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
integral0^3!integraly=x^y=raiz18 - x^2sinl(x^2+y^2+1r),dy,dx
Esse tipo de integral com x^2+y^2 no integrando e uma região limitada por reta e círculo é típico de mudança para coordenadas polares. Vamos usar polar:
x = rcostheta, y = rsintheta,
e o elemento de área vira dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Precisamos descrever a região
(x,y)mid 0<= x<=3,;x<= y<=raiz18-x^2 em termos de (r,theta).
  1. A reta y=x vira theta=pi/4.
  2. O círculo x^2+y^2=18 vira r=3raiz2.
  3. Como x>=0 e y>= x, temos theta de pi/4 até pi/2.
  4. Para cada theta nesse intervalo, r vai de 0 até a interseção com o círculo, isto é, r=3raiz2.
    Logo a região é
0 <= r <= 3raiz2, pi4 <= theta <= pi2

Passo 3

Em coordenadas polares o integrando e o Jacobiano ficam
sinl(x^2+y^2+1r),dy,dx =sinl(r^2+1r),r,dr,dtheta
Portanto a integral torna-se
integraltheta=pi/4^pi/2!integralr=0^3raiz2 r,sinl(r^2+1r),dr,dtheta

Passo 4

Vamos primeiro fazer a integral em r. Use u=r^2+1, então du=2r,dr e
integral0^3raiz2r,sin(r^2+1),dr =12integralu=1^u=19sin(u),du =-12l[cos(u)r]1^19 =12l(cos(1)-cos(19)r)

Passo 5

Agora integramos em theta, que é só multiplicar pelo comprimento do intervalo pi/2-pi/4=pi/4:
integralpi/4^pi/2dtheta;times;12l(cos(1)-cos(19)r) =pi4cdot12l(cos(1)-cos(19)r) =pi8l(cos(1)-cos(19)r)

Resposta

boxedpi8,l(cos(1)-cos(19)r)

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