Encontre a série de Fourier da função descrita por:
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período
da função
com extensão periódica
.
O conteúdo é desenvolvimento em séries de Fourier reais, vamos precisar das fórmulas dos coeficientes
para período
.
O conteúdo é desenvolvimento em séries de Fourier reais, vamos precisar das fórmulas dos coeficientes
Passo 2
As fórmulas para uma função de período
são
onde
. Simplificando:
Passo 3
Cálculo de
:
Como
é simétrica em torno de
, duas vezes a integral de
a
de
:
Logo
Passo 4
Cálculo de
por mudança de variável
, de
a
, onde
. Note que
Então
Como
é par, isso vale
Passo 5
Avaliaremos
Por partes:
Como
,
e
, resulta
Assim
Se
é par,
. Se
é ímpar,
e
, daí
Passo 6
Como
leva a integrando
ímpar em
, conclui-se
Passo 7
Reunindo, o termo constante é
e só aparecem cossenos de ordem ímpar:
com