Encontre a série de Fourier da função descrita por:
f(t)=|t-2|, se 0 <= t<4 e f(t+4)=f(t)

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período T=4 da função
f(t)=|t-2|em 0<= t<4,
com extensão periódica f(t+4)=f(t).
O conteúdo é desenvolvimento em séries de Fourier reais, vamos precisar das fórmulas dos coeficientes
a0,;an,;bn para período T=4.

Passo 2

As fórmulas para uma função de período T=4 são
a0=14integral0^4f(t),dt,
an=24integral0^4f(t)cosl(nomega0 tr),dt e bn=24integral0^4f(t)sinl(nomega0 tr),dt,
onde omega0=2piT=pi2. Simplificando:
an=12integral0^4f(t)cosl(tfracnpi2tr),dt, bn=12integral0^4f(t)sinl(tfracnpi2tr),dt

Passo 3

Cálculo de a0:
a0=14integral0^4|t-2|,dt
Como |t-2| é simétrica em torno de t=2, duas vezes a integral de 0 a 2 de (2-t):
integral0^4|t-2|,dt =2integral0^2(2-t),dt =2l[2t-tfract^22r]0^2 =2,(4-2)=4
Logo
a0=14cdot 4=1

Passo 4

Cálculo de an por mudança de variável u=t-2, de u=-2 a u=2, onde f(t)=|u|. Note que
cosl(tfracnpi2(u+2)r) =cosl(tfracnpi2u+npir) =(-1)^ncosl(tfracnpi2ur)
Então
an =tfrac12(-1)^nintegral-2^2|u|cosl(tfracnpi2ur),du
Como |u|cos(cdot) é par, isso vale
an =(-1)^nintegral0^2u,cosl(tfracnpi2ur),du

Passo 5

Avaliaremos
I=integral0^2ucos(a u),du, a=tfracnpi2
Por partes:
I =l[tfracuasin(au)r]0^2 -integral0^2tfrac1asin(au),du =2asin(2a) -1a^2l(1-cos(2a)r)
Como 2a=npi, sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, resulta
I=-1-(-1)^na^2
Assim
an =(-1)^nl(-1-(-1)^na^2r) =-(-1)^nl(1-(-1)^nr)(npi/2)^2
Se n é par, 1-(-1)^n=0 Rightarrow an=0. Se n é ímpar, 1-(-1)^n=2 e (-1)^n=-1, daí
an=2(npi/2)^2 =8n^2pi^2 ((n) ímpar) í

Passo 6

Como f(t)=|t-2| leva a integrando |u|sin(au) ímpar em u, conclui-se
bn=0forall,n

Passo 7

Reunindo, o termo constante é a0=1 e só aparecem cossenos de ordem ímpar:
f(t) =1 +sumk=0^inftya2k+1cos!l((2k+1)tfracpi2tr),
com
a2k+1 =8(2k+1)^2pi^2

Resposta

boxed f(t) =1 +8pi^2sumk=0^infty1(2k+1)^2 cos!l((2k+1)tfracpi2tr)

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