Questão 4 (2.0 pts) Expresse a integral abaixo em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais múltiplas e o uso do Jacobiano
para coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Identificamos a região de integração: no plano
temos
ou seja, o primeiro quadrante do disco de raio
. Em
vai de
a
. Em coordenadas cilíndricas
com
,
,
.
Passo 3
O integrando
vira
e o elemento de volume
vira
. Assim a integral torna-se
Passo 4
Como não há
no integrando, integramos primeiro em
:
ficando
Passo 5
Separamos a integral em
e
:
onde
Passo 6
Para calcular
, fazemos a substituição
, de modo que
e
. Os limites em
vão de
até
. Logo
Passo 7
Voltando à integral total, temos