Questão 4 (2.0 pts) Expresse a integral abaixo em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral0^4 raiz1+x^2+y^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^2integral0^raiz4-x^2integral0^4raiz1+x^2+y^2;dz,dy,dx
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais múltiplas e o uso do Jacobiano r para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Identificamos a região de integração: no plano xy temos
0<= x<=2, 0<= y<=raiz4-x^2,
ou seja, o primeiro quadrante do disco de raio 2. Em z vai de 0 a 4. Em coordenadas cilíndricas
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com 0<= r<=2, 0<=theta<=tfracpi2, 0<= z<=4.

Passo 3

O integrando raiz1+x^2+y^2 vira raiz1+r^2 e o elemento de volume dx,dy,dz vira r,dr,dtheta,dz. Assim a integral torna-se
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2integralz=0^4raiz1+r^2;r;dz,dr,dtheta

Passo 4

Como não há z no integrando, integramos primeiro em z:
integral0^4dz = 4,
ficando
4integral0^pi/2integral0^2rraiz1+r^2;dr,dtheta

Passo 5

Separamos a integral em theta e r:
4l(integral0^pi/2dthetar)l(integral0^2rraiz1+r^2;drr) =4cdotpi2cdot I =2pi,I,
onde
I = integral0^2rraiz1+r^2;dr

Passo 6

Para calcular I, fazemos a substituição u=1+r^2, de modo que du=2r,dr e r,dr=tfrac12,du. Os limites em u vão de u(0)=1 até u(2)=5. Logo
I = integral1^5raizu,du2 =12integral1^5u^1/2du =12,l[tfrac23u^3/2r]1^5 =13l(5^3/2-1r) =13l(5raiz5-1r)

Passo 7

Voltando à integral total, temos
2pi,I =2picdot13l(5raiz5-1r) =2pi3l(5raiz5-1r)

Resposta

2pi3l(5raiz5-1r)

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