Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável é
e a tendência é . - A expressão é a diferença entre uma raiz quadrada que cresce com
e uma expressão linear em .
O que nos pedem: encontrar o valor do limite (se existir) quando
cresce sem limite.
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação: à primeira vista, quando
temos
, então both termos tendem a
e a expressão é da forma
, que é indeterminada. Preciso transformar a expressão para uma forma que permita calcular o limite.
Método escolhido: racionalizar usando o conjugado. Explico por que: para diferenças que envolvem radicais, multiplicar numerador e denominador pelo conjugado elimina a raiz no numerador (ou permite simplificar), transformando a indeterminação em uma fração simples que dá para analisar.
Passo 3
Aplicando o truque do conjugado. Seja
Multiplico a expressão por
(que vale
quando bem definida), então
Agora uso a identidade
com
e
. Assim o numerador vira
Portanto, para
,
Passo 4
Agora a expressão do limite ficou mais simples:
Para analisar esse limite, fatoro
dentro da raiz (lembrando que
em
, então
):
Substituindo na fração obtemos
Passo 5
Agora faço o passo limite: quando
temos
, logo
Portanto o fator entre parênteses tende para
. Como há também um multiplicador
no denominador, o denominador total tende a
(porque
). Assim a fração tende a
:
Resposta
0