Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{25t^{2}+2}-5t\right).
Informações dadas:
  • A variável é t e a tendência é t\rightarrow +\infty.
  • A expressão é a diferença entre uma raiz quadrada que cresce com t e uma expressão linear em t.
O que nos pedem: encontrar o valor do limite (se existir) quando t cresce sem limite.

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação: à primeira vista, quando t\rightarrow +\infty temos \sqrt{25t^{2}+2}\sim 5t, então both termos tendem a +\infty e a expressão é da forma \infty-\infty, que é indeterminada. Preciso transformar a expressão para uma forma que permita calcular o limite.
Método escolhido: racionalizar usando o conjugado. Explico por que: para diferenças que envolvem radicais, multiplicar numerador e denominador pelo conjugado elimina a raiz no numerador (ou permite simplificar), transformando a indeterminação em uma fração simples que dá para analisar.

Passo 3

Aplicando o truque do conjugado. Seja
L=\lim_{t\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{25t^{2}+2}-5t\right).
Multiplico a expressão por \dfrac{\sqrt{25t^{2}+2}+5t}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t} (que vale 1 quando bem definida), então
\sqrt{25t^{2}+2}-5t = \frac{\big(\sqrt{25t^{2}+2}-5t\big)\big(\sqrt{25t^{2}+2}+5t\big)}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t}.
Agora uso a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} com a=\sqrt{25t^{2}+2} e b=5t. Assim o numerador vira
(\sqrt{25t^{2}+2})^{2}-(5t)^{2}=25t^{2}+2-25t^{2}=2.
Portanto, para t>0,
\sqrt{25t^{2}+2}-5t=\frac{2}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t}.

Passo 4

Agora a expressão do limite ficou mais simples:
L=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t}.
Para analisar esse limite, fatoro t dentro da raiz (lembrando que t>0 em t\rightarrow +\infty, então |t|=t):
\sqrt{25t^{2}+2}=t\sqrt{25+\frac{2}{t^{2}}}.
Substituindo na fração obtemos
\frac{2}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t} = \frac{2}{t\left(\sqrt{25+\dfrac{2}{t^{2}}}+5\right)}.

Passo 5

Agora faço o passo limite: quando t\rightarrow +\infty temos \dfrac{2}{t^{2}}\rightarrow 0, logo
\sqrt{25+\frac{2}{t^{2}}}\longrightarrow \sqrt{25}=5.
Portanto o fator entre parênteses tende para 5+5=10. Como há também um multiplicador t no denominador, o denominador total tende a +\infty (porque t\cdot 10\rightarrow +\infty). Assim a fração tende a 0:
\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{2}{t\left(\sqrt{25+\dfrac{2}{t^{2}}}+5\right)}=0.

Resposta

0

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