Exercício 10. Explique o significado de cada uma das expressões a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que eu explique o significado da expressão
Informações dadas:
- A expressão envolve o limite de
quando tende a . - O valor do limite é
(infinito positivo).
A tarefa é explicar, de forma clara e completa, o que essa igualdade quer dizer — tanto intuitivamente quanto de forma rigorosa — e dar exemplos e contraexemplos para fixar a ideia.
Passo 2
Intuição simples e direta: dizer que
significa que, à medida que
se aproxima de
(vindo tanto da esquerda quanto da direita), os valores de
crescem sem limite — isto é, tornam-se arbitrariamente grandes e positivos. Em linguagem de prova: não existe um número real grande demais; sempre que eu pedir "faça
maior que
" para qualquer
, posso forçar isso escolhendo
suficientemente próximo de
, sem precisar que
esteja definido.
Passo 3
Definição formal (a versão para limites que tendem a
):
significa que para todo
existe
tal que
Explicando cada pedaço:
-
é um número positivo arbitrário que representa “quão grande” queremos que seja. -
é a distância em torno de que escolhemos na variável . - A condição
significa "qualquer diferente de e suficientemente perto de ". - A implicação diz que, para todos esses
, o valor de fica maior que .
Se essa propriedade vale para todo, então dizemos que diverge para quando .
Passo 4
Observação sobre um- e dois-lados: a afirmação
é uma afirmação de limite bilateral. Para ela ser verdadeira é preciso que as duas limitações laterais existam e sejam
, ou seja:
Se uma das duas vieses (direita ou esquerda) tender a
ou a um número finito ou não existir, então a igualdade original não vale.
Passo 5
Conexão com assíntota vertical: se
e
é definida numa vizinhança de
exceto possivelmente em
(ou tende a infinito mesmo se definida), então o gráfico de
tem uma assíntota vertical na reta
. Em palavras: a curva sobe indefinidamente quando se aproxima dessa reta vertical.
Passo 6
Exemplo típico que confirma o significado — provar que a propriedade vale:
Considere . Vou mostrar que
Considere
Prova: tome qualquer
. Queremos um
tal que
implique
. A desigualdade é equivalente a
Logo, escolhendo
tem-se
. Como isso vale para todo
, a definição formal é satisfeita e portanto o limite é
. Este exemplo ilustra a técnica padrão: manipular desigualdades para obter uma condição do tipo
.
Passo 7
Contraexemplo para ter cuidado: a condição bilateral é essencial.
Considere . Então
Considere
Como as duas não coincidem (uma é
, a outra é
), não se pode dizer que
Portanto, ao avaliar esse tipo de limite no caderno ou prova, sempre verifique o comportamento vindo dos dois lados.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (passo a passo do que fazer):
- Identifique pontos problemáticos (denominadores nulos, log de zero, raiz par de número negativo etc.) próximos de
. - Investigue limites laterais separadamente: calcule
e . - Se ambos tenderem a
, então o limite bilateral é . Se algum não tender a , a afirmação falha. - Para demonstrar rigorosamente que o limite é
, use a definição: dado , manipule desigualdades para encontrar uma que garanta sempre que . - Em funções racionais simples, muitas vezes basta comparar potências do fator problemático e obter uma
explícita (como no exemplo do passo 6).
Resposta
Significa que, à medida que
se aproxima de
(por ambos os lados), os valores de
crescem sem limite positivo; formalmente: para todo
existe
tal que