Exercício 10. Explique o significado de cada uma das expressões a seguir:
\lim _{x \rightarrow-3} f(x)=+\infty

Passo 1

O enunciado pede que eu explique o significado da expressão
\lim_{x\to -3} f(x)=+\infty.
Informações dadas:
  • A expressão envolve o limite de f(x) quando x tende a -3.
  • O valor do limite é +\infty (infinito positivo).
    A tarefa é explicar, de forma clara e completa, o que essa igualdade quer dizer — tanto intuitivamente quanto de forma rigorosa — e dar exemplos e contraexemplos para fixar a ideia.

Passo 2

Intuição simples e direta: dizer que
\lim_{x\to -3} f(x)=+\infty
significa que, à medida que x se aproxima de -3 (vindo tanto da esquerda quanto da direita), os valores de f(x) crescem sem limite — isto é, tornam-se arbitrariamente grandes e positivos. Em linguagem de prova: não existe um número real grande demais; sempre que eu pedir "faça f(x) maior que M" para qualquer M>0, posso forçar isso escolhendo x suficientemente próximo de -3, sem precisar que f(-3) esteja definido.

Passo 3

Definição formal (a versão para limites que tendem a +\infty):
\lim_{x\to -3} f(x)=+\infty
significa que para todo M>0 existe \delta>0 tal que
0<|x+3|<\delta \quad\Rightarrow\quad f(x)>M.
Explicando cada pedaço:
  • M>0 é um número positivo arbitrário que representa “quão grande” queremos que f(x) seja.
  • \delta>0 é a distância em torno de -3 que escolhemos na variável x.
  • A condição 0<|x+3|<\delta significa "qualquer x diferente de -3 e suficientemente perto de -3".
  • A implicação diz que, para todos esses x, o valor de f(x) fica maior que M.
    Se essa propriedade vale para todo M>0, então dizemos que f(x) diverge para +\infty quando x\to-3.

Passo 4

Observação sobre um- e dois-lados: a afirmação
\lim_{x\to -3} f(x)=+\infty
é uma afirmação de limite bilateral. Para ela ser verdadeira é preciso que as duas limitações laterais existam e sejam +\infty, ou seja:
\lim_{x\to -3^-} f(x)=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -3^+} f(x)=+\infty.
Se uma das duas vieses (direita ou esquerda) tender a -\infty ou a um número finito ou não existir, então a igualdade original não vale.

Passo 5

Conexão com assíntota vertical: se
\lim_{x\to -3} f(x)=+\infty
e f é definida numa vizinhança de -3 exceto possivelmente em -3 (ou tende a infinito mesmo se definida), então o gráfico de f tem uma assíntota vertical na reta x=-3. Em palavras: a curva sobe indefinidamente quando se aproxima dessa reta vertical.

Passo 6

Exemplo típico que confirma o significado — provar que a propriedade vale:
Considere f(x)=\dfrac{1}{(x+3)^2}. Vou mostrar que
\lim_{x\to -3} \frac{1}{(x+3)^2}=+\infty.
Prova: tome qualquer M>0. Queremos um \delta>0 tal que 0<|x+3|<\delta implique \dfrac{1}{(x+3)^2}>M. A desigualdade é equivalente a
|x+3|<\frac{1}{\sqrt{M}}.
Logo, escolhendo
\delta=\frac{1}{\sqrt{M}}
tem-se 0<|x+3|<\delta \Rightarrow \dfrac{1}{(x+3)^2}>M. Como isso vale para todo M>0, a definição formal é satisfeita e portanto o limite é +\infty. Este exemplo ilustra a técnica padrão: manipular desigualdades para obter uma condição do tipo |x+3|<\delta.

Passo 7

Contraexemplo para ter cuidado: a condição bilateral é essencial.
Considere g(x)=\dfrac{1}{x+3}. Então
\lim_{x\to -3^+} \frac{1}{x+3}=+\infty, \qquad \lim_{x\to -3^-} \frac{1}{x+3}=-\infty.
Como as duas não coincidem (uma é +\infty, a outra é -\infty), não se pode dizer que
\lim_{x\to -3} \frac{1}{x+3}=+\infty.
Portanto, ao avaliar esse tipo de limite no caderno ou prova, sempre verifique o comportamento vindo dos dois lados.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (passo a passo do que fazer):
  1. Identifique pontos problemáticos (denominadores nulos, log de zero, raiz par de número negativo etc.) próximos de x=-3.
  2. Investigue limites laterais separadamente: calcule \lim_{x\to -3^-} f(x) e \lim_{x\to -3^+} f(x).
  3. Se ambos tenderem a +\infty, então o limite bilateral é +\infty. Se algum não tender a +\infty, a afirmação falha.
  4. Para demonstrar rigorosamente que o limite é +\infty, use a definição: dado M>0, manipule desigualdades para encontrar uma \delta(M) que garanta f(x)>M sempre que 0<|x+3|<\delta.
  5. Em funções racionais simples, muitas vezes basta comparar potências do fator problemático e obter uma \delta explícita (como no exemplo do passo 6).

Resposta

Significa que, à medida que x se aproxima de -3 (por ambos os lados), os valores de f(x) crescem sem limite positivo; formalmente: para todo M>0 existe \delta>0 tal que
0<|x+3|<\delta \quad\Rightarrow\quad f(x)>M.

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