Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\left.\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right)_{\mathrm{W}}\right) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{x}}{1+2 \mathrm{e}^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites quando x \to +\infty. As duas perguntas são:
  • L_1=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right).
  • L_2=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1-\mathrm{e}^{x}}{1+2\mathrm{e}^{x}}.
Informações fornecidas (assumidas): a e b são constantes (reais). Em cada caso precisamos determinar o valor do limite e se ele existe.

Passo 2

Resolveremos L_1. Primeiro manipulação algébrica útil: racionalizar a diferença de raízes usando a conjugada. Escrevo a expressão e multiplico numerador e denominador pela soma das raízes:
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}} = \frac{(a-b)x}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.

Passo 3

Agora vamos simplificar a expressão do passo anterior fatorando x dentro das raízes (isso é uma técnica padrão: para x>0, \sqrt{x^{2}+cx}=x\sqrt{1+\tfrac{c}{x}}):
\sqrt{x^{2}+a x}=x\sqrt{1+\frac{a}{x}},\qquad \sqrt{x^{2}+b x}=x\sqrt{1+\frac{b}{x}}.
Substituindo na fração obtém-se
\frac{(a-b)x}{x\big(\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}\big)} = \frac{a-b}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}}.

Passo 4

Agora aplicamos o comportamento quando x\to+\infty. Como \tfrac{a}{x}\to 0 e \tfrac{b}{x}\to 0, e a função \sqrt{\cdot} é contínua em 1, segue que
\sqrt{1+\frac{a}{x}}\longrightarrow 1,\qquad \sqrt{1+\frac{b}{x}}\longrightarrow 1.
Logo o denominador tende para 1+1=2. Portanto o limite existe e vale
L_1=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right)=\frac{a-b}{2}.
Breve interpretação didática: a técnica de racionalizar evita subtrações de quantidades grandes quase iguais; fatorar x mostra que cada raiz é aproximadamente x+\frac{a}{2} (expansão binomial para \sqrt{1+u}\approx1+\tfrac{u}{2} quando u pequeno), daí a diferença tende a \tfrac{a-b}{2}.

Passo 5

Agora L_2. A expressão é
\frac{1-\mathrm{e}^{x}}{1+2\mathrm{e}^{x}}.
Para entender o comportamento quando x\to+\infty é útil dividir numerador e denominador por \mathrm{e}^{x} (que domina os termos constantes):
\frac{1-\mathrm{e}^{x}}{1+2\mathrm{e}^{x}} = \frac{\mathrm{e}^{-x}-1}{\mathrm{e}^{-x}+2}.

Passo 6

Quando x\to+\infty, temos \mathrm{e}^{-x}\to 0. Substituindo esse limite na expressão do passo anterior (pela continuidade das operações racionais) obtemos
L_2=\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-x}-1}{\mathrm{e}^{-x}+2}=\frac{0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}.
Raciocínio alternativo (intuitivo): para x grande, \mathrm{e}^{x} é enorme, então os termos constantes 1 e 1 são desprezíveis frente a \mathrm{e}^{x}, e a fração se aproxima de -\mathrm{e}^{x}/(2\mathrm{e}^{x})=-1/2.

Passo 7

Resumo rápido de existência: ambos os limites existem para quaisquer constantes reais a e b. Fim — você conseguiu! Calma que já era só isso; manda mais que eu explico do mesmo jeito passo a passo.

Resposta

\dfrac{a-b}{2}
-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados