Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois limites quando
. As duas perguntas são:
-
. -
.
Informações fornecidas (assumidas):
e
são constantes (reais). Em cada caso precisamos determinar o valor do limite e se ele existe.
Passo 2
Resolveremos
. Primeiro manipulação algébrica útil: racionalizar a diferença de raízes usando a conjugada. Escrevo a expressão e multiplico numerador e denominador pela soma das raízes:
Passo 3
Agora vamos simplificar a expressão do passo anterior fatorando
dentro das raízes (isso é uma técnica padrão: para
,
):
Substituindo na fração obtém-se
Passo 4
Agora aplicamos o comportamento quando
. Como
e
, e a função
é contínua em
, segue que
Logo o denominador tende para
. Portanto o limite existe e vale
Breve interpretação didática: a técnica de racionalizar evita subtrações de quantidades grandes quase iguais; fatorar
mostra que cada raiz é aproximadamente
(expansão binomial para
quando
pequeno), daí a diferença tende a
.
Passo 5
Agora
. A expressão é
Para entender o comportamento quando
é útil dividir numerador e denominador por
(que domina os termos constantes):
Passo 6
Quando
, temos
. Substituindo esse limite na expressão do passo anterior (pela continuidade das operações racionais) obtemos
Raciocínio alternativo (intuitivo): para
grande,
é enorme, então os termos constantes
e
são desprezíveis frente a
, e a fração se aproxima de
.
Passo 7
Resumo rápido de existência: ambos os limites existem para quaisquer constantes reais
e
. Fim — você conseguiu! Calma que já era só isso; manda mais que eu explico do mesmo jeito passo a passo.