Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{2}+2 x^{7}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a -\infty da expressão
x^{2}+2x^{7}.
Informações dadas:
  • A função em questão é o polinômio f(x)=x^{2}+2x^{7}.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty, isto é, x vai para valores negativos com módulo muito grande.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando |x| fica muito grande. Mais precisamente, se
p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
com a_n\neq0 e n o maior expoente, então, quando x\to\pm\infty, o sinal e o crescimento de p(x) são determinados por a_n x^n. A razão intuitiva: os termos de menor grau crescem muito mais devagar e tornam-se desprezíveis em comparação com x^n para |x| grande. Uma maneira formal de ver isso é dividir por x^n (ou fatorar x^n) e usar que potências negativas de x tendem a zero.

Passo 3

Aplicando a ideia aqui: o polinômio tem termos x^{2} e 2x^{7}. O termo de maior grau é 2x^{7} (grau 7). Vamos fatorar por x^{7} para evidenciar o comportamento dominante:
x^{2}+2x^{7}=x^{7}\!\left(\frac{x^{2}}{x^{7}}+2\right)=x^{7}\!\left(x^{-5}+2\right).
Explique o que aparece:
  • \;x^{-5}=\dfrac{1}{x^{5}}\; e, quando x\to -\infty, tem limite 0 (porque potências positivas de |x| vão para infinito, então o inverso vai para 0).
  • Assim, o fator entre parênteses tende a 2:
\lim_{x\to -\infty}\left(x^{-5}+2\right)=0+2=2.

Passo 4

Agora analisamos x^{7} quando x\to -\infty. Como 7 é ímpar, \;x^{7}\to -\infty quando x\to -\infty (potência ímpar preserva o sinal do x e aumenta o módulo). Como o outro fator tende a 2>0, o produto tende a -\infty:
\lim_{x\to -\infty} x^{7}\cdot\big(x^{-5}+2\big)=\big(\lim_{x\to -\infty} x^{7}\big)\cdot\big(\lim_{x\to -\infty}(x^{-5}+2)\big) = (-\infty)\cdot 2 = -\infty.
(Esse produto é informally rigorous: um fator tende a -\infty e o outro tende a uma constante positiva, logo o produto tende a -\infty.)

Passo 5

Interpretação final e observação prática: o termo 2x^{7} cresce em módulo muito mais rápido que x^{2}, e como x^{7} é negativo para x negativo, a soma fica negativa e com módulo que cresce sem limite. Portanto a expressão diverge para -\infty.

Resposta

-\infty

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