Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A função em questão é o polinômio
. - O ponto de interesse é
, isto é, vai para valores negativos com módulo muito grande.
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando
fica muito grande. Mais precisamente, se
com
e
o maior expoente, então, quando
, o sinal e o crescimento de
são determinados por
. A razão intuitiva: os termos de menor grau crescem muito mais devagar e tornam-se desprezíveis em comparação com
para
grande. Uma maneira formal de ver isso é dividir por
(ou fatorar
) e usar que potências negativas de
tendem a zero.
Passo 3
Aplicando a ideia aqui: o polinômio tem termos
e
. O termo de maior grau é
(grau
). Vamos fatorar por
para evidenciar o comportamento dominante:
Explique o que aparece:
-
e, quando , tem limite (porque potências positivas de vão para infinito, então o inverso vai para ). - Assim, o fator entre parênteses tende a
:
Passo 4
Agora analisamos
quando
. Como
é ímpar,
quando
(potência ímpar preserva o sinal do
e aumenta o módulo). Como o outro fator tende a
, o produto tende a
:
(Esse produto é informally rigorous: um fator tende a
e o outro tende a uma constante positiva, logo o produto tende a
.)
Passo 5
Interpretação final e observação prática: o termo
cresce em módulo muito mais rápido que
, e como
é negativo para
negativo, a soma fica negativa e com módulo que cresce sem limite. Portanto a expressão diverge para
.