Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty}(x-\sqrt{x})

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se o valor do limite quando x tende para +\infty da expressão \,x-\sqrt{x}.
  • Informação dada: a variável x cresce sem limite positivo (vai para +\infty). A função envolvida é a diferença entre uma função linear x e uma função raiz quadrada \sqrt{x}.

Passo 2

Observações iniciais e ideia intuitiva (sem resolver ainda):
  • Para x\to+\infty tanto x quanto \sqrt{x} tendem para +\infty.
  • Precisamos decidir se a diferença x-\sqrt{x} converge para um número finito, diverge para +\infty ou diverge para -\infty.
  • Intuição: a função linear x cresce muito mais rápido que \sqrt{x}. Então a diferença deverá crescer sem limite positivo. Vamos tornar essa intuição precisa.

Passo 3

Reescrever a expressão de forma útil e explicar a ideia por trás:
  • Faço uma fatoração simples por x:
x-\sqrt{x}=x\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr).
  • Explicando cada termo: x é a grandeza que tende para +\infty. O fator \displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt{x}} é uma função que tende para 1 quando x\to+\infty, porque \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\to 0.

Passo 4

Calcular o limite do fator multiplicativo e interpretá-lo:
  • Calculo
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)=1-\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=1-0=1.
  • Isso significa que, para x grande, \,1-\dfrac{1}{\sqrt{x}} é próximo de 1 e, em particular, torna-se positivo e separado de zero para x suficientemente grande.

Passo 5

Dar um argumento quantitativo que prove divergência para +\infty:
  • Encontre uma desigualdade simples válida para x grande. Note que se x\ge 4 então \sqrt{x}\ge 2 e assim
1-\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Para x\ge 4 segue então
x-\sqrt{x}=x\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\ge x\cdot\frac{1}{2}=\frac{x}{2}.
  • Como \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty, pela desigualdade temos que x-\sqrt{x} também tende a +\infty. Isto é, a diferença é pelo menos da ordem de x para x grande, portanto diverge positivamente.

Passo 6

Comentário alternativo (intuitivo e curto) que consolida a ideia:
  • Outra forma de ver: escrever
x-\sqrt{x}=\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1).
Como \sqrt{x}\to+\infty e \sqrt{x}-1\to+\infty, o produto tende a +\infty. Isso está de acordo com a conclusão anterior.

Resposta

+\infty

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