Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se o valor do limite quando
tende para da expressão . - Informação dada: a variável
cresce sem limite positivo (vai para ). A função envolvida é a diferença entre uma função linear e uma função raiz quadrada .
Passo 2
Observações iniciais e ideia intuitiva (sem resolver ainda):
- Para
tanto quanto tendem para . - Precisamos decidir se a diferença
converge para um número finito, diverge para ou diverge para . - Intuição: a função linear
cresce muito mais rápido que . Então a diferença deverá crescer sem limite positivo. Vamos tornar essa intuição precisa.
Passo 3
Reescrever a expressão de forma útil e explicar a ideia por trás:
- Faço uma fatoração simples por
:
- Explicando cada termo:
é a grandeza que tende para . O fator é uma função que tende para quando , porque .
Passo 4
Calcular o limite do fator multiplicativo e interpretá-lo:
- Calculo
- Isso significa que, para
grande, é próximo de e, em particular, torna-se positivo e separado de zero para suficientemente grande.
Passo 5
Dar um argumento quantitativo que prove divergência para
:
- Encontre uma desigualdade simples válida para
grande. Note que se então e assim
- Para
segue então
- Como
, pela desigualdade temos que também tende a . Isto é, a diferença é pelo menos da ordem de para grande, portanto diverge positivamente.
Passo 6
Comentário alternativo (intuitivo e curto) que consolida a ideia:
- Outra forma de ver: escrever
Como
e
, o produto tende a
. Isso está de acordo com a conclusão anterior.