Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (apenas o que aparece no enunciado):
- A função dentro do limite é
. - O ponto de aproximação é
.
Passo 2
Primeiro teste: tentar a substituição direta
para ver se o limite é imediato. Calcular numerador e denominador em
.
Numerador:
Denominador:
Portanto ao substituir obtemos a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só por substituição — é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Estratégia para remover a indeterminação: fatorar polinômios e simplificar. Se o numerador e o denominador tiverem um fator comum
, podemos cancelar e então avaliar o limite.
Vamos fatorar o numerador
. Uma forma prática é procurar raízes racionais (teorema das raízes racionais) ou testar
: já vimos que
zera o numerador, logo
é fator. Fazendo a fatoração:
Procuramos
com produtos que dêem
e
. Ou dividimos o polinômio por
. Aqui reconhecemos o produto
Logo a fatoração correta é
Passo 4
Fatorar o denominador
também é direto:
Agora escrevemos a fração com as fatorações:
Para
podemos cancelar o fator comum
, ficando
Explicação didática: cancelar é válido porque estamos interessados no limite quando
se aproxima de
por valores diferentes de
. Em torno de
(mas com
) as duas expressões são idênticas, então têm o mesmo limite se a expressão simplificada for bem comportada em
.
Passo 5
Agora avaliamos o limite usando a forma simplificada. A função simplificada
é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero; em particular, é contínua em
. Portanto podemos substituir
diretamente em
para obter o limite:
Passo 6
Interpretação final e observações úteis para a prova:
- A forma
indicou que havia uma descontinuidade removível em . Depois de cancelar obtemos a expressão que se estende continuamente a com valor ; portanto o limite existe e vale . - Nota: a função original também tem outra singularidade em
(denominador zero, numerador ), que não afeta este limite específico em mas é bom ficar atento a esses pontos em questões de continuidade.
Força aí — você já sabe o caminho: testar substituição, identificar indeterminação, fatorar e cancelar, então avaliar a expressão simplificada.