Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^{2}-5 x-2}{x^{2}-2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{3x^{2}-5x-2}{x^{2}-2x}.
Informações dadas (apenas o que aparece no enunciado):
  • A função dentro do limite é \dfrac{3x^{2}-5x-2}{x^{2}-2x}.
  • O ponto de aproximação é x\to 2.

Passo 2

Primeiro teste: tentar a substituição direta x=2 para ver se o limite é imediato. Calcular numerador e denominador em x=2.
Numerador:
3\cdot 2^{2}-5\cdot 2-2 = 3\cdot 4 -10 -2 = 12-12 = 0.
Denominador:
2^{2}-2\cdot 2 = 4-4 = 0.
Portanto ao substituir obtemos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só por substituição — é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Estratégia para remover a indeterminação: fatorar polinômios e simplificar. Se o numerador e o denominador tiverem um fator comum (x-2), podemos cancelar e então avaliar o limite.
Vamos fatorar o numerador \,3x^{2}-5x-2. Uma forma prática é procurar raízes racionais (teorema das raízes racionais) ou testar x=2: já vimos que x=2 zera o numerador, logo (x-2) é fator. Fazendo a fatoração:
Procuramos 3x^{2}-5x-2 = (ax+b)(cx+d) com produtos que dêem 3x^{2} e -2. Ou dividimos o polinômio por (x-2). Aqui reconhecemos o produto
(3x+1)(x-2)=3x^{2}-6x + x -2 = 3x^{2}-5x -2.
Logo a fatoração correta é
3x^{2}-5x-2 = (3x+1)(x-2).

Passo 4

Fatorar o denominador \,x^{2}-2x também é direto:
x^{2}-2x = x(x-2).
Agora escrevemos a fração com as fatorações:
\frac{3x^{2}-5x-2}{x^{2}-2x} = \frac{(3x+1)(x-2)}{x(x-2)}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2), ficando
\frac{3x^{2}-5x-2}{x^{2}-2x} = \frac{3x+1}{x},\qquad \text{para } x\neq 0,2.
Explicação didática: cancelar é válido porque estamos interessados no limite quando x se aproxima de 2 por valores diferentes de 2. Em torno de 2 (mas com x\neq 2) as duas expressões são idênticas, então têm o mesmo limite se a expressão simplificada for bem comportada em 2.

Passo 5

Agora avaliamos o limite usando a forma simplificada. A função simplificada g(x)=\dfrac{3x+1}{x} é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero; em particular, é contínua em x=2. Portanto podemos substituir x=2 diretamente em g(x) para obter o limite:
\lim_{x\to 2}\frac{3x^{2}-5x-2}{x^{2}-2x} = \lim_{x\to 2}\frac{3x+1}{x} = \frac{3\cdot 2 + 1}{2} = \frac{6+1}{2} = \frac{7}{2}.

Passo 6

Interpretação final e observações úteis para a prova:
  • A forma \dfrac{0}{0} indicou que havia uma descontinuidade removível em x=2. Depois de cancelar (x-2) obtemos a expressão que se estende continuamente a x=2 com valor \dfrac{7}{2}; portanto o limite existe e vale \dfrac{7}{2}.
  • Nota: a função original também tem outra singularidade em x=0 (denominador zero, numerador -2\neq 0), que não afeta este limite específico em x\to 2 mas é bom ficar atento a esses pontos em questões de continuidade.
Força aí — você já sabe o caminho: testar substituição, identificar indeterminação, fatorar e cancelar, então avaliar a expressão simplificada.

Resposta

\dfrac{7}{2}

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