Exercício 18. Considere uma função f(x) que satisfaz a seguinte propriedade:
\ln \left[\left(1+\frac{5}{3 x}\right)^{2 x}\right] \leqslant f(x) \leqslant \frac{\sqrt{35+18 x+100 x^{2}}}{2+3 x}
para todo x \in \mathbb{R}. Calcule (se existir) o limite \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) (caso ele não exista, explique o porquê).

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade válida para todo x\in\mathbb{R}:
\ln\!\left[\left(1+\frac{5}{3x}\right)^{2x}\right] \leqslant f(x) \leqslant \frac{\sqrt{35+18x+100x^{2}}}{2+3x}.
O que se pede: calcular (se existir) o limite
\lim_{x\to\infty} f(x).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Há uma cota inferior g(x)=\ln\!\left[\left(1+\dfrac{5}{3x}\right)^{2x}\right].
  • Há uma cota superior h(x)=\dfrac{\sqrt{35+18x+100x^{2}}}{2+3x}.
  • A desigualdade g(x)\le f(x)\le h(x) vale para todo x.
    Vamos calcular os limites das cotas g(x) e h(x) quando x\to\infty e usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Analisar a cota inferior. Escrevo-a de forma mais manejável:
g(x)=\ln\!\left[\left(1+\frac{5}{3x}\right)^{2x}\right]=2x\ln\!\left(1+\frac{5}{3x}\right).
Faço a mudança de variável u=\dfrac{5}{3x}. Quando x\to\infty tem-se u\to0, e também x=\dfrac{5}{3u}. Substituindo:
g(x)=2\cdot\frac{5}{3u}\,\ln(1+u)=\frac{10}{3u}\ln(1+u)=\frac{10}{3}\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora uso o limite conhecido (pode ser mostrado por l’Hôpital ou pela expansão em série):
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Portanto
\lim_{x\to\infty} g(x)=\frac{10}{3}\cdot 1=\frac{10}{3}.

Passo 3

Analisar a cota superior. Considere
h(x)=\frac{\sqrt{35+18x+100x^{2}}}{2+3x}.
Fatoro x^{2} dentro da raiz (para x\to\infty interessa x>0, então |x|=x):
h(x)=\frac{\sqrt{x^{2}\!\left(100+\dfrac{18}{x}+\dfrac{35}{x^{2}}\right)}}{x\!\left(3+\dfrac{2}{x}\right)} =\frac{x\sqrt{100+\dfrac{18}{x}+\dfrac{35}{x^{2}}}}{x\!\left(3+\dfrac{2}{x}\right)} =\frac{\sqrt{100+\dfrac{18}{x}+\dfrac{35}{x^{2}}}}{3+\dfrac{2}{x}}.
Tomando x\to\infty, os termos \dfrac{18}{x} e \dfrac{35}{x^{2}} vão a 0, então
\lim_{x\to\infty} h(x)=\frac{\sqrt{100}}{3}=\frac{10}{3}.

Passo 4

Aplicação do Teorema do Confronto (squeeze theorem). Temos, para todo x,
g(x)\le f(x)\le h(x),
e demonstramos que
\lim_{x\to\infty} g(x)=\frac{10}{3}, \qquad \lim_{x\to\infty} h(x)=\frac{10}{3}.
Pelo Teorema do Confronto, se uma função fica entre duas que tendem ao mesmo limite L, então essa função também tende a L. Logo o limite \lim_{x\to\infty} f(x) existe e é igual a \dfrac{10}{3}.

Resposta

\dfrac{10}{3}

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