Exercício 18. Considere uma função
que satisfaz a seguinte propriedade:
para todo
. Calcule (se existir) o limite
(caso ele não exista, explique o porquê).
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade válida para todo
:
O que se pede: calcular (se existir) o limite
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Há uma cota inferior
. - Há uma cota superior
. - A desigualdade
vale para todo .
Vamos calcular os limites das cotase quando e usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
Passo 2
Analisar a cota inferior. Escrevo-a de forma mais manejável:
Faço a mudança de variável
. Quando
tem-se
, e também
. Substituindo:
Agora uso o limite conhecido (pode ser mostrado por l’Hôpital ou pela expansão em série):
Portanto
Passo 3
Analisar a cota superior. Considere
Fatoro
dentro da raiz (para
interessa
, então
):
Tomando
, os termos
e
vão a
, então
Passo 4
Aplicação do Teorema do Confronto (squeeze theorem). Temos, para todo
,
e demonstramos que
Pelo Teorema do Confronto, se uma função fica entre duas que tendem ao mesmo limite
, então essa função também tende a
. Logo o limite
existe e é igual a
.