Em cada caso, calcule: \mu . \mu ; v_{1} v ; e \mu, v:
\mu=(2,3) ; v=(-2,1);

Passo 1

O enunciado pede que se calcule três coisas a partir dos vetores dados. Os dados fornecidos são:
  • \mu = (2,3)
  • v = (-2,1)
As perguntas (o que devemos calcular) são:
  • \mu \cdot \mu
  • v \cdot v
  • o ângulo entre \mu e v (vou representar por \theta, isto é, "o ângulo entre \mu e v").

Passo 2

Conceito e fórmula do produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^2.
Para dois vetores \,a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2) define-se o produto escalar por
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
Explicando: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados. As variáveis aqui significam:
  • a_1 e a_2 são as componentes do vetor a;
  • b_1 e b_2 são as componentes do vetor b.
Essa fórmula serve tanto para calcular produtos entre vetores diferentes quanto para calcular a\cdot a (que dá o quadrado da norma).

Passo 3

Cálculo de \mu \cdot \mu usando a fórmula do produto escalar.
Aplicando a=\mu e b=\mu na fórmula:
\mu\cdot\mu = 2\cdot 2 + 3\cdot 3.
Agora calcular passo a passo:
2\cdot 2 = 4,\qquad 3\cdot 3 = 9,
\mu\cdot\mu = 4 + 9 = 13.
Interpretação rápida: \mu\cdot\mu é o quadrado da norma de \mu, ou seja \mu\cdot\mu = \lVert \mu\rVert^2.

Passo 4

Cálculo de v \cdot v de forma análoga.
Usando a=v e b=v:
v\cdot v = (-2)\cdot(-2) + 1\cdot 1.
Calcule passo a passo:
(-2)\cdot(-2)=4,\qquad 1\cdot 1 = 1,
v\cdot v = 4 + 1 = 5.
Interpretação: v\cdot v = \lVert v\rVert^2.

Passo 5

Cálculo do produto escalar \mu\cdot v (necessário para achar o ângulo).
Aplicando a fórmula com a=\mu e b=v:
\mu\cdot v = 2\cdot(-2) + 3\cdot 1.
Calcule:
2\cdot(-2) = -4,\qquad 3\cdot 1 = 3,
\mu\cdot v = -4 + 3 = -1.

Passo 6

Relação entre produto escalar e ângulo; cálculo do ângulo \theta entre \mu e v.
Fórmula (declaração e explicação): para vetores a e b não nulos, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\,\lVert b\rVert}.
Aqui:
  • a\cdot b é o produto escalar;
  • \lVert a\rVert = \sqrt{a\cdot a} é a norma (comprimento) de a;
  • \lVert b\rVert = \sqrt{b\cdot b} é a norma de b.
No nosso caso já temos:
\mu\cdot v = -1,\qquad \mu\cdot\mu = 13,\qquad v\cdot v = 5.
Logo as normas são
\lVert \mu\rVert = \sqrt{13},\qquad \lVert v\rVert = \sqrt{5}.
Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\mu\cdot v}{\lVert \mu\rVert\,\lVert v\rVert} = \frac{-1}{\sqrt{13}\,\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{65}}.
Portanto o ângulo exato pode ser escrito como
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{-1}{\sqrt{65}}\right).
Se for preciso um valor aproximado (útil em provas com calculadora ou para intuir a posição relativa dos vetores), calcule numericamente:
\sqrt{65}\approx 8{,}0623\quad\Rightarrow\quad \frac{-1}{\sqrt{65}}\approx -0{,}124035,
\theta \approx \operatorname{arccos}(-0{,}124035) \approx 97{,}1^\circ \approx 1{,}694\\ \text{rad}.
Observação prática para a prova: se não puder usar calculadora, deixar a resposta na forma exata \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-1/\sqrt{65}\bigr) é perfeitamente aceitável; se puder usar calculadora, calcule a parte numérica para obter graus ou radianos.

Passo 7

Recapitulando e dando uma dica prática:
  • Produtos \mu\cdot\mu e v\cdot v são apenas somas de quadrados das componentes (dão os quadrados das normas).
  • Produto \mu\cdot v negativo indica que o ângulo entre os vetores é maior que 90^\circ (o que confirmamos: cerca de 97^\circ).
  • Em prova, para achar o ângulo, calcule o produto escalar e as normas e use a fórmula do cosseno; se não puder calcular arccos numericamente, entregue a expressão \operatorname{arccos}(\cdot).

Resposta

\mu\cdot\mu = 13
v\cdot v = 5
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-1}{\sqrt{65}}\right) \approx 97{,}1^\circ \approx 1{,}694\\ \text{rad}

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