Em cada caso, calcule:
;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule três coisas a partir dos vetores dados. Os dados fornecidos são:
As perguntas (o que devemos calcular) são:
-
-
- o ângulo entre
e (vou representar por , isto é, "o ângulo entre e ").
Passo 2
Conceito e fórmula do produto escalar (dot product) em
.
Para dois vetores
e
define-se o produto escalar por
Explicando: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados. As variáveis aqui significam:
-
e são as componentes do vetor ; -
e são as componentes do vetor .
Essa fórmula serve tanto para calcular produtos entre vetores diferentes quanto para calcular
(que dá o quadrado da norma).
Passo 3
Cálculo de
usando a fórmula do produto escalar.
Aplicando
e
na fórmula:
Agora calcular passo a passo:
Interpretação rápida:
é o quadrado da norma de
, ou seja
.
Passo 4
Cálculo de
de forma análoga.
Usando
e
:
Calcule passo a passo:
Interpretação:
.
Passo 5
Cálculo do produto escalar
(necessário para achar o ângulo).
Aplicando a fórmula com
e
:
Calcule:
Passo 6
Relação entre produto escalar e ângulo; cálculo do ângulo
entre
e
.
Fórmula (declaração e explicação): para vetores
e
não nulos, o cosseno do ângulo
entre eles é dado por
Aqui:
-
é o produto escalar; -
é a norma (comprimento) de ; -
é a norma de .
No nosso caso já temos:
Logo as normas são
Substituindo na fórmula do cosseno:
Portanto o ângulo exato pode ser escrito como
Se for preciso um valor aproximado (útil em provas com calculadora ou para intuir a posição relativa dos vetores), calcule numericamente:
Observação prática para a prova: se não puder usar calculadora, deixar a resposta na forma exata
é perfeitamente aceitável; se puder usar calculadora, calcule a parte numérica para obter graus ou radianos.
Passo 7
Recapitulando e dando uma dica prática:
- Produtos
e são apenas somas de quadrados das componentes (dão os quadrados das normas). - Produto
negativo indica que o ângulo entre os vetores é maior que (o que confirmamos: cerca de ). - Em prova, para achar o ângulo, calcule o produto escalar e as normas e use a fórmula do cosseno; se não puder calcular arccos numericamente, entregue a expressão
.