Em cada caso, calcule: \mu . \mu ; v_{1} v ; e \mu, v:
\mu=(3,1,4) ; v=(2,-2,-1);

Passo 1

O enunciado pede que se calcule três quantidades (usei os dados tal como foram dados):
  • Calcular \mu\cdot\mu.
  • Calcular v\cdot v.
  • Calcular \mu\cdot v.
Os vetores fornecidos são
\mu = (3,1,4),\qquad v=(2,-2,-1).

Passo 2

Primeiro uma revisão rápida e prática do produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^3, explicada passo a passo:
  • Se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), então o produto escalar é definido por
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
  • Uma consequência importante é que o produto escalar de um vetor por ele mesmo dá o quadrado da norma (comprimento) desse vetor:
a\cdot a = \|a\|^2.
Isto significa que, para calcular \mu\cdot\mu basta somar os quadrados das componentes de \mu; o mesmo para v\cdot v. Para \mu\cdot v, multiplica-se componente a componente e soma-se.

Passo 3

Calcular \mu\cdot\mu. Aplicando a fórmula:
\mu\cdot\mu = 3^2 + 1^2 + 4^2.
Agora calcule cada termo:
3^2 = 9,\qquad 1^2 = 1,\qquad 4^2 = 16.
Somando:
\mu\cdot\mu = 9 + 1 + 16 = 26.

Passo 4

Calcular v\cdot v. Aplicando a fórmula:
v\cdot v = 2^2 + (-2)^2 + (-1)^2.
Calcule cada termo:
2^2 = 4,\qquad (-2)^2 = 4,\qquad (-1)^2 = 1.
Somando:
v\cdot v = 4 + 4 + 1 = 9.

Passo 5

Calcular \mu\cdot v. Multiplica-se componente a componente e soma:
\mu\cdot v = 3\cdot 2 + 1\cdot (-2) + 4\cdot (-1).
Calcule cada produto:
3\cdot 2 = 6,\qquad 1\cdot (-2) = -2,\qquad 4\cdot (-1) = -4.
Somando:
\mu\cdot v = 6 + (-2) + (-4) = 6 - 2 - 4 = 0.
Observação útil (motivacional): como \mu\cdot v = 0 e nenhum dos vetores é o vetor nulo, isso significa que \mu e v são perpendiculares (ortogonais). Também, a norma de cada vetor pode ser obtida diretamente:
\|\mu\| = \sqrt{\mu\cdot\mu} = \sqrt{26},\qquad \|v\| = \sqrt{v\cdot v} = \sqrt{9}=3.

Resposta

\mu\cdot\mu = 26
v\cdot v = 9
\mu\cdot v = 0

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