Em cada caso, encontre o vetor A que seja soluçâo da equação dada:
3 A+2 w=\mu-2 v+w; onde; \mu=(-1,1) ; v=(0,2) ; e w=(2,-3);

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vetor A que satisfaz a equação
3A+2w=\mu-2v+w,
com os vetores fornecidos:
\mu = (-1,1),\qquad v=(0,2),\qquad w=(2,-3).
Ou seja, a tarefa é isolar A e calcular suas componentes numéricas usando os vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as operações com vetores em \mathbb{R}^2 que usaremos:
  • Soma de vetores: para x=(x_1,x_2) e y=(y_1,y_2),
x+y=(x_1+y_1,\;x_2+y_2).
Exemplo rápido: (1,2)+(3,4)=(4,6).
  • Multiplicação por escalar: para escalar c e vetor x=(x_1,x_2),
c\,x=(c x_1,\;c x_2).
Exemplo rápido: 2\cdot(1,3)=(2,6).
Essas regras significam que podemos operar componente a componente nas expressões da equação dada.

Passo 3

Isolando A na equação original. Começamos com a equação em bloco:
3A+2w=\mu-2v+w.
Subtraindo 2w dos dois lados obtemos:
3A=\mu-2v+w-2w.
Como w-2w=-w, isso simplifica para
3A=\mu-2v-w.
Agora dividimos ambos os lados por 3 (multiplicação por escalar 1/3):
A=\frac{1}{3}\bigl(\mu-2v-w\bigr).
Explicando: dividir um vetor por 3 significa multiplicar cada componente por 1/3.

Passo 4

Vamos calcular \mu-2v-w componente a componente usando os vetores dados. Primeiro calculemos cada termo:
\mu = (-1,1).
-2v = -2\cdot(0,2) = ( -2\cdot 0,\; -2\cdot 2 ) = (0,-4).
-w = -(2,-3) = (-2,3).
Observe que em cada caso multipliquei as componentes pelo escalar apropriado.

Passo 5

Somando os três vetores obtidos componente a componente:
\mu-2v-w = (-1,1) + (0,-4) + (-2,3).
Agora as componentes:
  • Componente x: -1 + 0 + (-2) = -3.
  • Componente y: 1 + (-4) + 3 = 0.
    Portanto
\mu-2v-w = (-3,0).

Passo 6

Aplicando o fator \tfrac{1}{3} para obter A:
A=\frac{1}{3}(-3,0)=\left(\frac{-3}{3},\;\frac{0}{3}\right)=(-1,0).

Passo 7

Verificação (plugando A de volta na equação original para checar):
Calcule 3A+2w:
3A = 3\cdot(-1,0)=(-3,0), \qquad 2w = 2\cdot(2,-3)=(4,-6).
Então
3A+2w = (-3,0)+(4,-6)=(1,-6).
Calcule o lado direito \mu-2v+w:
\mu-2v+w = (-1,1)-2\cdot(0,2)+(2,-3)=(-1,1)+(0,-4)+(2,-3)=(1,-6).
Os dois lados coincidem, logo a solução está correta.

Resposta

A = (-1,0)

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