Se A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -7 & 2 \\\\ -2 & 5 & -3 \\\\ 1 & -2 & 0\end{array}\right], encontre A^{-1} e \left(A^{-1}\right)^{-1}. Explique seu resultado.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -7 & 2 \\[4pt] -2 & 5 & -3 \\[4pt] 1 & -2 & 0\end{array}\right]
e pede duas coisas:
  • encontrar A^{-1};
  • encontrar \left(A^{-1}\right)^{-1} e explicar o resultado.
As informações relevantes: todos os elementos de A estão acima; nada mais é dado. Vamos calcular passo a passo.]

Passo 2

Primeira verificação importante: para que A^{-1} exista é necessário que \det(A)\neq 0. Vamos calcular \det(A) para ter certeza da invertibilidade.
Usando a regra de Laplace pela primeira linha,
\det(A)=3\det\!\begin{pmatrix}5 & -3\\[2pt] -2 & 0\end{pmatrix} -(-7)\det\!\begin{pmatrix}-2 & -3\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} +2\det\!\begin{pmatrix}-2 & 5\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
Agora computar cada determinante 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}5 & -3\\[2pt] -2 & 0\end{pmatrix}=5\cdot0-(-3)\cdot(-2)=0-6=-6,
\det\!\begin{pmatrix}-2 & -3\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}=(-2)\cdot0-(-3)\cdot1=0+3=3,
\det\!\begin{pmatrix}-2 & 5\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-2)-5\cdot1=4-5=-1.
Substituindo,
\det(A)=3\cdot(-6)+7\cdot3+2\cdot(-1)=-18+21-2=1.
Portanto \det(A)=1\neq0, então A é invertível. Observação útil: \det(A)=1 implica que o inverso terá entradas inteiras sempre que a adjunta (matriz dos cofatores transposta) tiver entradas inteiras — bom sinal para cálculo manual.]

Passo 3

Método escolhido (explicação didática): vou usar a fórmula pela adjunta/ cofatores. A fórmula geral é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A. Cada cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
com M_{ij} sendo o menor (determinante da submatriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j). Vou calcular todos os menores e cofatores explicitamente.
Rápida intuição: calcular cofatores é só calcular determinantes 2\times2 e aplicar sinais alternados.

Passo 4

Calcular todos os menores M_{ij} e cofatores C_{ij}.
  • Para i=1,j=1: o menor é \det\begin{pmatrix}5 & -3\\[2pt] -2 & 0\end{pmatrix}=-6. O cofator é
    C_{11}=(-1)^{1+1}(-6)=-6.
  • Para i=1,j=2: o menor é \det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}=3. O cofator é
    C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot3=-3.
  • Para i=1,j=3: o menor é \det\begin{pmatrix}-2 & 5\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix}=-1. O cofator é
    C_{13}=(-1)^{1+3}\cdot(-1)=-1.
  • Para i=2,j=1: o menor é \det\begin{pmatrix}-7 & 2\\[2pt] -2 & 0\end{pmatrix}=(-7)\cdot0-2\cdot(-2)=4. O cofator é
    C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot4=-4.
  • Para i=2,j=2: o menor é \det\begin{pmatrix}3 & 2\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}=3\cdot0-2\cdot1=-2. O cofator é
    C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot(-2)=-2.
  • Para i=2,j=3: o menor é \det\begin{pmatrix}3 & -7\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix}=3\cdot(-2)-(-7)\cdot1=-6+7=1. O cofator é
    C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot1=-1.
  • Para i=3,j=1: o menor é \det\begin{pmatrix}-7 & 2\\[2pt] 5 & -3\end{pmatrix}=(-7)\cdot(-3)-2\cdot5=21-10=11. O cofator é
    C_{31}=(-1)^{3+1}\cdot11=11.
  • Para i=3,j=2: o menor é \det\begin{pmatrix}3 & 2\\[2pt] -2 & -3\end{pmatrix}=3\cdot(-3)-2\cdot(-2)=-9+4=-5. O cofator é
    C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot(-5)=5.
  • Para i=3,j=3: o menor é \det\begin{pmatrix}3 & -7\\[2pt] -2 & 5\end{pmatrix}=3\cdot5-(-7)\cdot(-2)=15-14=1. O cofator é
    C_{33}=(-1)^{3+3}\cdot1=1.
Assim a matriz dos cofatores (linha por linha) é
\left[\begin{array}{rrr} -6 & -3 & -1\\[4pt] -4 & -2 & -1\\[4pt] 11 & 5 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Formar a adjunta (adjugate) que é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=\left[\begin{array}{rrr} -6 & -4 & 11\\[4pt] -3 & -2 & 5\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Como \det(A)=1, a fórmula A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) dá simplesmente
A^{-1}=\operatorname{adj}(A)=\left[\begin{array}{rrr} -6 & -4 & 11\\[4pt] -3 & -2 & 5\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Verificação rápida (mostrar que é realmente o inverso): multiplicar A por essa matriz deve dar a identidade. Por exemplo, a entrada (1,1) do produto é
3\cdot(-6)+(-7)\cdot(-3)+2\cdot(-1)=-18+21-2=1,
a entrada (1,2) é
3\cdot(-4)+(-7)\cdot(-2)+2\cdot(-1)=-12+14-2=0,
e assim por diante para as demais entradas — ao checar todas obtém-se a matriz identidade I_3. Isso confirma que a matriz encontrada é de fato A^{-1}.

Passo 7

Agora explicar \left(A^{-1}\right)^{-1}. Existe uma propriedade geral de matrizes invertíveis: se B é inversa de A (ou seja AB=BA=I), então a inversa de B é A. Em símbolos,
\left(A^{-1}\right)^{-1}=A.
Intuição rápida: inverter duas vezes te traz de volta ao original (como (x^{-1})^{-1}=x nos números). Como A^{-1} foi encontrada acima, sua inversa é simplesmente a matriz original A.

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}-6 & -4 & 11\\[4pt]-3 & -2 & 5\\[4pt]-1 & -1 & 1\end{array}\right]
\left(A^{-1}\right)^{-1}=A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -7 & 2\\[4pt]-2 & 5 & -3\\[4pt]1 & -2 & 0\end{array}\right]]

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