Portanto \det(A)=1\neq0, então A é invertível. Observação útil: \det(A)=1 implica que o inverso terá entradas inteiras sempre que a adjunta (matriz dos cofatores transposta) tiver entradas inteiras — bom sinal para cálculo manual.]
Passo 3
Método escolhido (explicação didática): vou usar a fórmula pela adjunta/ cofatores. A fórmula geral é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A. Cada cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
com M_{ij} sendo o menor (determinante da submatriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j). Vou calcular todos os menores e cofatores explicitamente.
Rápida intuição: calcular cofatores é só calcular determinantes 2\times2 e aplicar sinais alternados.
Passo 4
Calcular todos os menores M_{ij} e cofatores C_{ij}.
Para i=1,j=1: o menor é \det\begin{pmatrix}5 & -3\\[2pt] -2 & 0\end{pmatrix}=-6. O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}(-6)=-6.
Para i=1,j=2: o menor é \det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}=3. O cofator é
C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot3=-3.
Para i=1,j=3: o menor é \det\begin{pmatrix}-2 & 5\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix}=-1. O cofator é
C_{13}=(-1)^{1+3}\cdot(-1)=-1.
Para i=2,j=1: o menor é \det\begin{pmatrix}-7 & 2\\[2pt] -2 & 0\end{pmatrix}=(-7)\cdot0-2\cdot(-2)=4. O cofator é
C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot4=-4.
Para i=2,j=2: o menor é \det\begin{pmatrix}3 & 2\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}=3\cdot0-2\cdot1=-2. O cofator é
C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot(-2)=-2.
Para i=2,j=3: o menor é \det\begin{pmatrix}3 & -7\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix}=3\cdot(-2)-(-7)\cdot1=-6+7=1. O cofator é
C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot1=-1.
Para i=3,j=1: o menor é \det\begin{pmatrix}-7 & 2\\[2pt] 5 & -3\end{pmatrix}=(-7)\cdot(-3)-2\cdot5=21-10=11. O cofator é
C_{31}=(-1)^{3+1}\cdot11=11.
Para i=3,j=2: o menor é \det\begin{pmatrix}3 & 2\\[2pt] -2 & -3\end{pmatrix}=3\cdot(-3)-2\cdot(-2)=-9+4=-5. O cofator é
C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot(-5)=5.
Para i=3,j=3: o menor é \det\begin{pmatrix}3 & -7\\[2pt] -2 & 5\end{pmatrix}=3\cdot5-(-7)\cdot(-2)=15-14=1. O cofator é
Verificação rápida (mostrar que é realmente o inverso): multiplicar A por essa matriz deve dar a identidade. Por exemplo, a entrada (1,1) do produto é
3\cdot(-6)+(-7)\cdot(-3)+2\cdot(-1)=-18+21-2=1,
a entrada (1,2) é
3\cdot(-4)+(-7)\cdot(-2)+2\cdot(-1)=-12+14-2=0,
e assim por diante para as demais entradas — ao checar todas obtém-se a matriz identidade I_3. Isso confirma que a matriz encontrada é de fato A^{-1}.
Passo 7
Agora explicar \left(A^{-1}\right)^{-1}. Existe uma propriedade geral de matrizes invertíveis: se B é inversa de A (ou seja AB=BA=I), então a inversa de B é A. Em símbolos,
\left(A^{-1}\right)^{-1}=A.
Intuição rápida: inverter duas vezes te traz de volta ao original (como (x^{-1})^{-1}=x nos números). Como A^{-1} foi encontrada acima, sua inversa é simplesmente a matriz original A.