Em cada caso, calcule a soma da série. (Sugestão: (a) é uma série geométrica, (b) é uma série de encaixe e para (c), calcule a soma da série como o limite da soma parcial S_{n}. Primeiro obtenha uma expressão para S_{n}-\frac{1}{2} S_{n} e, a partir daí, calcule S_{n}.)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\Bigr).
O conteúdo aqui é “série telescópica”: vamos usar soma parcial e observar cancelamentos.

Passo 2

Definimos a soma parcial até n:
S_{n} \;=\;\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\Bigr).

Passo 3

Separamos em duas somas e reindexamos para enxergar o telescópio:
S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1} -\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+3} =\sum_{j=2}^{n+1}\frac{1}{j} -\sum_{j=4}^{n+3}\frac{1}{j}.

Passo 4

Agora cancelam-se todos os termos de j=4 até j=n+1. Sobram apenas os extremos:
S_{n} =\Bigl(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\Bigr).

Passo 5

Fazendo n\to\infty, os termos \frac{1}{n+2} e \frac{1}{n+3} vão a zero. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\Bigr) =\lim_{n\to\infty}S_{n} =\frac{1}{2}+\frac{1}{3} =\frac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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