Calcule.
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx. O conteúdo é integração por substituição, pois a presença de \sqrt{x} sugere usar x=t^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x},\quad x = t^2,\quad dx = 2t\,dt.
Substituindo no integrando,
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx = \int \frac{t}{1+t^2}\cdot 2t\,dt = 2\int \frac{t^2}{1+t^2}\,dt.

Passo 3

Reescrevemos o integrando usando divisão polinomial:
\frac{t^2}{1+t^2} = 1 - \frac{1}{1+t^2}.
Logo,
2\int \frac{t^2}{1+t^2}\,dt = 2\int \Bigl(1 - \frac{1}{1+t^2}\Bigr)\,dt.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
2\int 1\,dt = 2t, \quad 2\int \frac{1}{1+t^2}\,dt = 2\arctan t.
Portanto a primitiva em t é
2t - 2\arctan t + C.

Passo 5

Voltando à variável original t=\sqrt{x}, obtemos
2\sqrt{x} - 2\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C.

Resposta

2\sqrt{x} - 2\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C.

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