Em cada caso, calcule a soma da série. (Sugestão: (a) é uma série geométrica, (b) é uma série de encaixe e para (c), calcule a soma da série como o limite da soma parcial S_{n}. Primeiro obtenha uma expressão para S_{n}-\frac{1}{2} S_{n} e, a partir daí, calcule S_{n}.)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{n-1}}{3^{n+2}}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n+2}}.
O conteúdo principal é soma de série geométrica. Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r},
válida para |r|<1.

Passo 2

Isolamos fatores que não dependem de n. Note que
3^{n+2}=3^2\cdot3^n=9\cdot3^n
e
2^{n-1}=2^n\cdot2^{-1}=\tfrac12\cdot2^n.
Logo,
\frac{(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n+2}} =\frac{1}{9}\;\frac{(-1)^n\,(2^{n-1})}{3^n} =\frac{1}{9}\;\frac{(-1)^n\,(1/2)\,2^n}{3^n} =\frac{1}{18}\;(-1)^n\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 3

Escrevemos a série como
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n+2}} =\frac{1}{18}\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^n.
É uma série geométrica com primeiro termo
a=\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^2 =\tfrac{4}{9}
e razão
r=-\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da soma desde n=2. Para uma série geométrica iniciando em n=2,
\sum_{n=2}^{\infty}r^n =\sum_{k=0}^{\infty}r^{k+2} =r^2\sum_{k=0}^{\infty}r^k =\frac{r^2}{1-r}.
Assim,
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^n =\frac{\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^2}{1-(-\tfrac{2}{3})} =\frac{\tfrac{4}{9}}{1+\tfrac{2}{3}} =\frac{\tfrac{4}{9}}{\tfrac{5}{3}} =\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{5} =\frac{12}{45} =\frac{4}{15}.
Multiplicando pelo fator externo 1/18,
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n+2}} =\frac{1}{18}\cdot\frac{4}{15} =\frac{4}{270} =\frac{2}{135}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{135}

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