Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas:
e
;
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas.
- O enunciado pede: calcular, via integral dupla, a área da região
do plano delimitada pelas curvas dadas. - As curvas que delimitam
são: -
, -
, -
, -
.
-
Lista das informações relevantes que extraí do enunciado:
- A curva
pode ser escrita como (é a “parábola” voltada para a esquerda). - A reta
pode ser escrita como (reta inclinada). - As retas horizontais
e dão claramente os limites inferiores e superiores em . - O que se pede é a área da região fechada por essas quatro curvas.
Passo 2
Determinar a descrição conveniente da região
para montar a integral dupla.
- Como estão dadas duas curvas em forma
( e ) e os limites em são explícitos ( e ), a forma mais simples é descrever como um conjunto de pontos com variando de a e, para cada , variando entre as duas curvas. - Portanto, posso escrever
Observação importante (verificação de consistência):
- Verifico se para todo
a desigualdade é satisfeita, caso contrário a descrição acima estaria errada. - Calculo a diferença:
O polinômio tem discriminante , logo é sempre positivo. Portanto para todo , em particular para . Assim a descrição de está correta: para cada entre e , o intervalo em é .
Passo 3
Lembrar a fórmula e interpretar a integral dupla para área.
- A área de uma região
no plano pode ser obtida integrando a função constante sobre : - Quando descrevemos
como , a integral dupla se transforma em uma integral iterada: - No nosso caso
, , , .
Passo 4
Montar a integral iterada que dá a área e calcular a integral interna em
.
- Montando a integral:
- A integral interna em
é simples: . - Portanto a integral reduz-se a
Passo 5
Explicar e calcular a integral em
passo a passo (antiderivadas e avaliação).
- Primeiro reconheço a função a integrar:
. - Antiderivada termo a termo:
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é .
- Antiderivada de
- Logo uma primitiva
é - Avalio
nos extremos e .
Cálculo em
:
Cálculo em
:
Para somar estes termos uso denominador comum
:
Passo 6
Subtrair
para obter a área e simplificar o resultado.
-
Faço a diferença:
-
Coloco em denominador comum
: -
Simplificando
. -
Em forma decimal isso dá
, mas a forma fracionária é mais elegante.