Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
D: y^{2}=-x, x-y=4, y=-1 e y=2;

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas.
  • O enunciado pede: calcular, via integral dupla, a área da região D do plano xy delimitada pelas curvas dadas.
  • As curvas que delimitam D são:
    • y^{2}=-x,
    • x-y=4,
    • y=-1,
    • y=2.
Lista das informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A curva y^{2}=-x pode ser escrita como x=-y^{2} (é a “parábola” voltada para a esquerda).
  • A reta x-y=4 pode ser escrita como x=y+4 (reta inclinada).
  • As retas horizontais y=-1 e y=2 dão claramente os limites inferiores e superiores em y.
  • O que se pede é a área da região fechada por essas quatro curvas.

Passo 2

Determinar a descrição conveniente da região D para montar a integral dupla.
  • Como estão dadas duas curvas em forma x=\dots ( x=-y^{2} e x=y+4) e os limites em y são explícitos ( y=-1 e y=2), a forma mais simples é descrever D como um conjunto de pontos com y variando de -1 a 2 e, para cada y, x variando entre as duas curvas.
  • Portanto, posso escrever D=\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\quad -y^{2}\le x\le y+4\}.
Observação importante (verificação de consistência):
  • Verifico se para todo y\in[-1,2] a desigualdade -y^{2}\le y+4 é satisfeita, caso contrário a descrição acima estaria errada.
  • Calculo a diferença: (y+4)-(-y^{2})=y^{2}+y+4.O polinômio y^{2}+y+4 tem discriminante \Delta=1-16=-15<0, logo é sempre positivo. Portanto -y^{2}<y+4 para todo y, em particular para y\in[-1,2]. Assim a descrição de D está correta: para cada y entre -1 e 2, o intervalo em x é [-y^{2},\,y+4].

Passo 3

Lembrar a fórmula e interpretar a integral dupla para área.
  • A área de uma região D no plano pode ser obtida integrando a função constante 1 sobre D: \text{Área}(D)=\iint_{D} 1\,dA.Á
  • Quando descrevemos D como \{(x,y)\mid a\le y\le b,\;g_1(y)\le x\le g_2(y)\}, a integral dupla se transforma em uma integral iterada: \iint_{D} 1\,dA=\int_{y=a}^{b}\left(\int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)} 1\,dx\right)dy.
  • No nosso caso a=-1, b=2, g_1(y)=-y^{2}, g_2(y)=y+4.

Passo 4

Montar a integral iterada que dá a área e calcular a integral interna em x.
  • Montando a integral: \text{Área}(D)=\int_{y=-1}^{2}\left(\int_{x=-y^{2}}^{y+4} 1\,dx\right)dy.Á
  • A integral interna em x é simples: \int_{x=-y^{2}}^{y+4} 1\,dx = \bigl[x\bigr]_{x=-y^{2}}^{x=y+4}= (y+4)-(-y^{2}).
  • Portanto a integral reduz-se a \text{Área}(D)=\int_{y=-1}^{2} \bigl(y+4 + y^{2}\bigr)\,dy.Á

Passo 5

Explicar e calcular a integral em y passo a passo (antiderivadas e avaliação).
  • Primeiro reconheço a função a integrar: y^{2}+y+4.
  • Antiderivada termo a termo:
    • Antiderivada de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}.
    • Antiderivada de y é \dfrac{y^{2}}{2}.
    • Antiderivada de 4 é 4y.
  • Logo uma primitiva F(y) é F(y)=\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+4y.
  • Avalio F nos extremos y=2 e y=-1.
Cálculo em y=2:
F(2)=\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2}+4\cdot 2 =\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+8 =\frac{8}{3}+2+8 =\frac{8}{3}+10 =\frac{8+30}{3} =\frac{38}{3}.
Cálculo em y=-1:
F(-1)=\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}+4\cdot(-1) =-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-4.
Para somar estes termos uso denominador comum 6:
-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-4 = -\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{24}{6} = -\frac{23}{6}.

Passo 6

Subtrair F(2)-F(-1) para obter a área e simplificar o resultado.
  • Faço a diferença:
    \text{Área}(D)=F(2)-F(-1)=\frac{38}{3}-\left(-\frac{23}{6}\right)=\frac{38}{3}+\frac{23}{6}.Á
  • Coloco em denominador comum 6:
    \frac{38}{3}+\frac{23}{6}=\frac{76}{6}+\frac{23}{6}=\frac{99}{6}.
  • Simplificando \dfrac{99}{6}=\dfrac{33}{2}.
  • Em forma decimal isso dá 16{,}5, mas a forma fracionária \dfrac{33}{2} é mais elegante.

Resposta

\dfrac{33}{2}

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