Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
D: y=0, x+y=3 a e y^{2}=4 a x, a>0;

Passo 1

O enunciado pede a área da região D no plano x y delimitada pelas curvas
y=0,\qquad x+y=3a,\qquad y^{2}=4ax,
com a>0.
Informações relevantes dadas:
  • A reta y=0 é o eixo x (base inferior da região).
  • A reta x+y=3a pode ser escrita como x=3a-y.
  • A parábola y^{2}=4ax pode ser escrita como x=\dfrac{y^{2}}{4a}.
    O objetivo é calcular via integral dupla a área de D.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração.
Interseção entre a parábola e a reta x+y=3a. Substitui-se x=3a-y em y^{2}=4ax:
y^{2}=4a(3a-y).
Desenvolvendo:
y^{2}=12a^{2}-4ay \quad\Rightarrow\quad y^{2}+4ay-12a^{2}=0.
Resolver a quadrática em y. O discriminante é
\Delta=(4a)^{2}-4\cdot1\cdot(-12a^{2})=16a^{2}+48a^{2}=64a^{2},
logo \sqrt{\Delta}=8a. As raízes são
y=\frac{-4a\pm 8a}{2}.
Isso dá
y=2a \quad\text{ou}\quad y=-6a.
Interseção entre a parábola e y=0: de y^{2}=4ax com y=0 obtemos x=0, ponto (0,0).
Interseção entre a reta x+y=3a e y=0: substituindo y=0 x=3a, ponto (3a,0).
Dos pontos obtidos, a parte da região limitada por y=0 fica entre y=0 e a interseção positiva y=2a. O ponto y=-6a fica abaixo de y=0 e não participa da região que tem y=0 como fronteira superior/inferior relevante aqui.

Passo 3

Descrever a região D para integrar. Para 0\le y\le 2a:
  • a fronteira esquerda é a parábola: x_{\text{esq}}=\dfrac{y^{2}}{4a},
  • a fronteira direita é a reta: x_{\text{dir}}=3a-y.
Portanto a área A(D) pode ser escrita como integral iterada (integrando primeiro em x, depois em y):
A(D)=\iint_{D} dA = \int_{y=0}^{2a}\left(\int_{x=\frac{y^{2}}{4a}}^{\,3a-y} dx\right) dy.
Aqui foi usada a ideia básica: a área de D é \iint_{D}1\,dA, e para uma região verticalmente projetável sobre o eixo y o integrando interno é a diferença entre as abscissas direita e esquerda.

Passo 4

Calcular a integral interna em x. Como o integrando é 1,
\int_{x=\frac{y^{2}}{4a}}^{\,3a-y} dx = \Big[x\Big]_{x=\frac{y^{2}}{4a}}^{x=3a-y}= (3a-y)-\frac{y^{2}}{4a}.
Logo
A(D)=\int_{0}^{2a}\left(3a-y-\frac{y^{2}}{4a}\right) dy.

Passo 5

Integrar termo a termo. Calcula-se primitivas:
\int 3a\,dy = 3a\,y, \qquad \int (-y)\,dy = -\tfrac{1}{2}y^{2}, \qquad \int \left(-\frac{y^{2}}{4a}\right) dy = -\frac{1}{4a}\cdot\frac{y^{3}}{3} = -\frac{y^{3}}{12a}.
Portanto
A(D)=\left[3a\,y-\tfrac{1}{2}y^{2}-\frac{y^{3}}{12a}\right]_{0}^{2a}.

Passo 6

Avaliar em y=2a e y=0:
Em y=2a:
3a\cdot(2a)=6a^{2}, \qquad -\tfrac{1}{2}(2a)^{2}=-\tfrac{1}{2}\cdot 4a^{2}=-2a^{2}, \qquad -\frac{(2a)^{3}}{12a}=-\frac{8a^{3}}{12a}=-\frac{2}{3}a^{2}.
Somando:
6a^{2}-2a^{2}-\frac{2}{3}a^{2}=4a^{2}-\frac{2}{3}a^{2}=\left(4-\frac{2}{3}\right)a^{2}=\frac{10}{3}a^{2}.
Em y=0 a expressão vale 0. Logo a área é \dfrac{10}{3}a^{2}.

Passo 7

Breve verificação qualitativa: como a>0 a área obtida é positiva e tem dimensão de a^{2}, o que faz sentido. A região descrita está entre x=0 (próxima da origem) e x=3a, com altura 2a; o valor \dfrac{10}{3}a^{2} é coerente com essa escala.

Resposta

\dfrac{10}{3}a^{2}

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