Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região
no plano
delimitada pelas curvas
com
.
Informações relevantes dadas:
- A reta
é o eixo (base inferior da região). - A reta
pode ser escrita como . - A parábola
pode ser escrita como .
O objetivo é calcular via integral dupla a área de.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração.
Interseção entre a parábola e a reta
. Substitui-se
em
:
Desenvolvendo:
Resolver a quadrática em
. O discriminante é
logo
. As raízes são
Isso dá
Interseção entre a parábola e
: de
com
obtemos
, ponto
.
Interseção entre a reta
e
: substituindo
dá
, ponto
.
Dos pontos obtidos, a parte da região limitada por
fica entre
e a interseção positiva
. O ponto
fica abaixo de
e não participa da região que tem
como fronteira superior/inferior relevante aqui.
Passo 3
Descrever a região
para integrar. Para
:
- a fronteira esquerda é a parábola:
, - a fronteira direita é a reta:
.
Portanto a área
pode ser escrita como integral iterada (integrando primeiro em
, depois em
):
Aqui foi usada a ideia básica: a área de
é
, e para uma região verticalmente projetável sobre o eixo
o integrando interno é a diferença entre as abscissas direita e esquerda.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Como o integrando é
,
Logo
Passo 5
Integrar termo a termo. Calcula-se primitivas:
Portanto
Passo 6
Avaliar em
e
:
Em
:
Somando:
Em
a expressão vale
. Logo a área é
.
Passo 7
Breve verificação qualitativa: como
a área obtida é positiva e tem dimensão de
, o que faz sentido. A região descrita está entre
(próxima da origem) e
, com altura
; o valor
é coerente com essa escala.