Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule, via integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas duas curvas
e
Informações relevantes fornecidas:
- As duas curvas são dadas explicitamente como funções
. - A região
é a parte do plano limitada por essas duas curvas (a fronteira será onde elas se intersectam). - O objetivo final é obter a área numérica da região
usando integral dupla (ou equivalente).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas (esses pontos determinam os limites em
quando integrarmos em
). Igualamos as duas expressões de
:
Multiplico ambos os lados por
(isso é seguro pois
para todo
):
Faço a substituição
para resolver mais facilmente:
Resolvo a quadrática em
. Fatorando:
portanto
ou
. Como
, descarto
e fico com
. Assim
O
correspondente em cada interseção é
. Logo os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima da outra no intervalo entre as interseções (para montar a integral como “superior menos inferior”). Faço um teste em
(entre
e
):
Portanto, em
a curva
está acima de
. As duas funções são contínuas e só se cruzam em
, então para todo
tem-se
Conclui-se que a região
é a faixa entre
e
, com
variando de
(inferior) até
(superior).
Passo 4
Montar a integral dupla para a área. A fórmula geral para a área de uma região limitada por curvas
(inferior) e
(superior) é
Aqui
,
,
e
. Então
Observação didática rápida: escolhi integrar em
porque as curvas estão dadas como
função de
. Integrar em
seria possível mas exigiria expressar
em função de
, o que é menos direto aqui.
Passo 5
Aproveitar simetria para simplificar os cálculos. Note que a função integrando é par (mesma para
e
):
Logo
Isso reduz trabalho e evita manipulação desnecessária de sinais.
Passo 6
Calcular a integral. Primeiro encontro antiderivadas termo a termo.
- Para
: sabe-se (ou lembra-se) que . Portanto
Explicação curta: a função
tem derivada
; multiplicando por 2 obtém-se o numerador 2.
- Para
:
pela regra básica da primitivação de potências:
(para
).
Portanto uma antiderivada da função integranda é
Avalio de
a
e multiplico por
(pela simetria):
Sei que
e
. Substituindo: