Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
D: y=x^{2} e y=2 /\left(1+x^{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede que se calcule, via integral dupla, a área da região D do plano xy delimitada pelas duas curvas
y = x^{2}
e
y = \frac{2}{1+x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas curvas são dadas explicitamente como funções y=f(x).
  • A região D é a parte do plano limitada por essas duas curvas (a fronteira será onde elas se intersectam).
  • O objetivo final é obter a área numérica da região D usando integral dupla (ou equivalente).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas (esses pontos determinam os limites em x quando integrarmos em x). Igualamos as duas expressões de y:
x^{2}=\frac{2}{1+x^{2}}.
Multiplico ambos os lados por 1+x^{2} (isso é seguro pois 1+x^{2}>0 para todo x):
x^{2}(1+x^{2})=2.
Faço a substituição u=x^{2} para resolver mais facilmente:
u(1+u)=2 \quad\Rightarrow\quad u^{2}+u-2=0.
Resolvo a quadrática em u. Fatorando:
u^{2}+u-2=(u+2)(u-1)=0,
portanto u=1 ou u=-2. Como u=x^{2}\ge0, descarto u=-2 e fico com x^{2}=1. Assim
x=\pm 1.
O y correspondente em cada interseção é y=x^{2}=1. Logo os pontos de interseção são (-1,1) e (1,1).

Passo 3

Determinar qual curva está acima da outra no intervalo entre as interseções (para montar a integral como “superior menos inferior”). Faço um teste em x=0 (entre -1 e 1):
y_{1}(0)=0^{2}=0,\qquad y_{2}(0)=\frac{2}{1+0^{2}}=2.
Portanto, em x=0 a curva y=\dfrac{2}{1+x^{2}} está acima de y=x^{2}. As duas funções são contínuas e só se cruzam em x=\pm1, então para todo x\in[-1,1] tem-se
\frac{2}{1+x^{2}}\ge x^{2}.
Conclui-se que a região D é a faixa entre x=-1 e x=1, com y variando de y=x^{2} (inferior) até y=\dfrac{2}{1+x^{2}} (superior).

Passo 4

Montar a integral dupla para a área. A fórmula geral para a área de uma região limitada por curvas y=g_{1}(x) (inferior) e y=g_{2}(x) (superior) é
\text{Área}=\iint_{D} dA = \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} dy\,dx = \int_{a}^{b}\bigl(g_{2}(x)-g_{1}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui a=-1, b=1, g_{1}(x)=x^{2} e g_{2}(x)=\dfrac{2}{1+x^{2}}. Então
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\left(\frac{2}{1+x^{2}}-x^{2}\right)\,dx.Á
Observação didática rápida: escolhi integrar em x porque as curvas estão dadas como y= função de x. Integrar em y seria possível mas exigiria expressar x em função de y, o que é menos direto aqui.

Passo 5

Aproveitar simetria para simplificar os cálculos. Note que a função integrando é par (mesma para x e -x):
\frac{2}{1+(-x)^{2}}-(-x)^{2}=\frac{2}{1+x^{2}}-x^{2}.
Logo
\int_{-1}^{1}\left(\frac{2}{1+x^{2}}-x^{2}\right)\,dx = 2\int_{0}^{1}\left(\frac{2}{1+x^{2}}-x^{2}\right)\,dx.
Isso reduz trabalho e evita manipulação desnecessária de sinais.

Passo 6

Calcular a integral. Primeiro encontro antiderivadas termo a termo.
  1. Para \dfrac{2}{1+x^{2}}: sabe-se (ou lembra-se) que \dfrac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Portanto
\int \frac{2}{1+x^{2}}\,dx = 2\arctan x.
Explicação curta: a função \arctan x tem derivada 1/(1+x^{2}); multiplicando por 2 obtém-se o numerador 2.
  1. Para x^{2}:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},
pela regra básica da primitivação de potências: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).
Portanto uma antiderivada da função integranda é
F(x)=2\arctan x - \frac{x^{3}}{3}.
Avalio de 0 a 1 e multiplico por 2 (pela simetria):
\text{Área}=2\Bigl[F(1)-F(0)\Bigr] =2\Bigl(2\arctan 1 - \frac{1^{3}}{3} - \bigl(2\arctan 0 - 0\bigr)\Bigr).Á
Sei que \arctan 1=\dfrac{\pi}{4} e \arctan 0=0. Substituindo:
\text{Área}=2\Bigl(2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\Bigr) =2\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) =\pi-\frac{2}{3}.Á

Resposta

\pi-\tfrac{2}{3}

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