Determine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia I_{x}, I_{y} da lâmina de densidade \sigma(x, y) e formato D : D: y=x^{2}, y=4 e \sigma(x, y)=k y;
Passo 1
O enunciado fornece a lâmina com densidade \sigma(x,y)=k\,y e região D limitada por y=x^{2} e y=4. As perguntas são:
Determinar a massa M da lâmina.
Determinar o centro de massa (\bar{x},\bar{y}).
Determinar os momentos de inércia I_{x} (em torno do eixo x) e I_{y} (em torno do eixo y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A região D é o conjunto de pontos entre a parábola y=x^{2} (embaixo) e a reta horizontal y=4 (em cima).
Para um dado y com 0\le y\le4, x varia entre -\sqrt{y} e +\sqrt{y}.
A densidade depende só de y: \sigma(x,y)=k\,y (constante k multiplicativa).
Passo 2
Definir e calcular a massa M. Aula rápida: a massa de uma lâmina é a integral dupla da densidade sobre a região,
M=\iint_{D}\sigma(x,y)\,dA.
Aqui \sigma(x,y)=k\,y. Vou integrar primeiro em x (limites -\sqrt{y} a +\sqrt{y}) e depois em y (de 0 a 4):
Determinar \bar{x}. Aula rápida sobre simetria: se a região D é simétrica em relação ao eixo y (ou seja, para cada (x,y) está (-x,y)) e a densidade é função apenas de y, então as contribuições de x positivo e x negativo se cancelam, dando \bar{x}=0.
Formalmente,
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\sigma(x,y)\,dA.
Como \sigma depende só de y e D é simétrico em x, a integral de x sobre [-{\sqrt{y}},{\sqrt{y}}] é zero para cada y. Logo
Resumo e observações finais rápidas (úteis para a prova):
As integrais foram feitas escolhendo fatias horizontais (integrar em x primeiro) porque a região é mais simples descrita por x\in[-\sqrt{y},\sqrt{y}], y\in[0,4].
Usou-se a regra de potências para integrar y^{\alpha}: \displaystyle\int y^{\alpha}\,dy=\frac{y^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq-1.
Simetria do domínio + densidade dependente só de y garantiu \bar{x}=0.
As constantes k aparecem multiplicando massa e momentos, mas cancelam em \bar{y}.