Determine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia I_{x}, I_{y} da lâmina de densidade \sigma(x, y) e formato D :
D: y=x^{2}, y=4 e \sigma(x, y)=k y;

Passo 1

O enunciado fornece a lâmina com densidade \sigma(x,y)=k\,y e região D limitada por y=x^{2} e y=4. As perguntas são:
  • Determinar a massa M da lâmina.
  • Determinar o centro de massa (\bar{x},\bar{y}).
  • Determinar os momentos de inércia I_{x} (em torno do eixo x) e I_{y} (em torno do eixo y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A região D é o conjunto de pontos entre a parábola y=x^{2} (embaixo) e a reta horizontal y=4 (em cima).
  • Para um dado y com 0\le y\le4, x varia entre -\sqrt{y} e +\sqrt{y}.
  • A densidade depende só de y: \sigma(x,y)=k\,y (constante k multiplicativa).

Passo 2

Definir e calcular a massa M. Aula rápida: a massa de uma lâmina é a integral dupla da densidade sobre a região,
M=\iint_{D}\sigma(x,y)\,dA.
Aqui \sigma(x,y)=k\,y. Vou integrar primeiro em x (limites -\sqrt{y} a +\sqrt{y}) e depois em y (de 0 a 4):
M=\int_{y=0}^{4}\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} k\,y\,dx\,dy.
Computando a integral em x: a integranda k\,y não depende de x, então
\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} k\,y\,dx = k\,y\cdot\bigl(2\sqrt{y}\bigr)=2k\,y\sqrt{y}=2k\,y^{3/2}.
Agora integrar em y. Lembrete de cálculo: \displaystyle\int y^{3/2}\,dy=\frac{2}{5}y^{5/2}. Assim
M=2k\int_{0}^{4} y^{3/2}\,dy = 2k\cdot\frac{2}{5}y^{5/2}\Big|_{0}^{4}=\frac{4k}{5}\,4^{5/2}.
Avaliar 4^{5/2}: \;4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32. Portanto
M=\frac{4k}{5}\cdot 32 = \frac{128}{5}\,k.

Passo 3

Determinar \bar{x}. Aula rápida sobre simetria: se a região D é simétrica em relação ao eixo y (ou seja, para cada (x,y) está (-x,y)) e a densidade é função apenas de y, então as contribuições de x positivo e x negativo se cancelam, dando \bar{x}=0.
Formalmente,
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\sigma(x,y)\,dA.
Como \sigma depende só de y e D é simétrico em x, a integral de x sobre [-{\sqrt{y}},{\sqrt{y}}] é zero para cada y. Logo
\bar{x}=0.

Passo 4

Determinar \bar{y}. Fórmula:
\bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{D} y\,\sigma(x,y)\,dA.
Substituindo \sigma=k\,y,
\bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{D} y\cdot k\,y\,dA=\frac{k}{M}\iint_{D} y^{2}\,dA.
Calcular a integral dupla:
\iint_{D} y^{2}\,dA = \int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} y^{2}\,dx\,dy = \int_{0}^{4} y^{2}\cdot(2\sqrt{y})\,dy = 2\int_{0}^{4} y^{5/2}\,dy.
Lembrete: \displaystyle\int y^{5/2}\,dy=\frac{2}{7}y^{7/2}. Logo
\iint_{D} y^{2}\,dA = 2\cdot\frac{2}{7}y^{7/2}\Big|_{0}^{4}=\frac{4}{7}\,4^{7/2}.
Avaliar 4^{7/2}=(\sqrt{4})^{7}=2^{7}=128. Então
\iint_{D} y^{2}\,dA=\frac{4}{7}\cdot 128 = \frac{512}{7}.
Multiplicando por k e dividindo por M=\dfrac{128}{5}k,
\bar{y}=\frac{k\cdot\dfrac{512}{7}}{\dfrac{128}{5}k}=\frac{512}{7}\cdot\frac{5}{128}.
Simplificando \dfrac{512}{128}=4, obtemos
\bar{y}=4\cdot\frac{5}{7}=\frac{20}{7}\approx 2{,}857\ldots
Observe que o k cancela, como esperado: a posição do centro de massa não depende da constante multiplicativa da densidade.

Passo 5

Definir e calcular o momento de inércia I_{x} (em torno do eixo x). Aula rápida: o momento de inércia em torno do eixo x para uma lâmina é
I_{x}=\iint_{D} y^{2}\,\sigma(x,y)\,dA,
porque a distância de um ponto (x,y) ao eixo x é |y|, e o momento envolve o quadrado dessa distância. Substituindo \sigma=k\,y,
I_{x}=k\iint_{D} y^{3}\,dA.
Calcular a integral:
\iint_{D} y^{3}\,dA = \int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} y^{3}\,dx\,dy = \int_{0}^{4} y^{3}\cdot(2\sqrt{y})\,dy = 2\int_{0}^{4} y^{7/2}\,dy.
Lembrete: \displaystyle\int y^{7/2}\,dy=\frac{2}{9}y^{9/2}. Assim
\iint_{D} y^{3}\,dA = 2\cdot\frac{2}{9}y^{9/2}\Big|_{0}^{4}=\frac{4}{9}\,4^{9/2}.
Avaliar 4^{9/2}=(\sqrt{4})^{9}=2^{9}=512. Portanto
\iint_{D} y^{3}\,dA = \frac{4}{9}\cdot 512 = \frac{2048}{9}.
Multiplicando por k,
I_{x}=k\cdot\frac{2048}{9}=\frac{2048}{9}\,k.

Passo 6

Definir e calcular o momento de inércia I_{y} (em torno do eixo y). Aula rápida: o momento de inércia em torno do eixo y é
I_{y}=\iint_{D} x^{2}\,\sigma(x,y)\,dA,
porque a distância ao eixo y é |x|. Substituindo \sigma=k\,y,
I_{y}=k\iint_{D} x^{2}y\,dA.
Calcular a integral interna em x. Para fixo y, com x\in[-\sqrt{y},\sqrt{y}],
\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx = \frac{2}{3}\bigl(\sqrt{y}\bigr)^{3} = \frac{2}{3}y^{3/2}.
Logo
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{0}^{4} y\cdot\frac{2}{3}y^{3/2}\,dy = \frac{2}{3}\int_{0}^{4} y^{5/2}\,dy.
Usando \displaystyle\int y^{5/2}\,dy=\frac{2}{7}y^{7/2},
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}y^{7/2}\Big|_{0}^{4}=\frac{4}{21}\,4^{7/2}.
Com 4^{7/2}=128,
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \frac{4}{21}\cdot 128 = \frac{512}{21}.
Multiplicando por k,
I_{y}=k\cdot\frac{512}{21}=\frac{512}{21}\,k.

Passo 7

Resumo e observações finais rápidas (úteis para a prova):
  • As integrais foram feitas escolhendo fatias horizontais (integrar em x primeiro) porque a região é mais simples descrita por x\in[-\sqrt{y},\sqrt{y}], y\in[0,4].
  • Usou-se a regra de potências para integrar y^{\alpha}: \displaystyle\int y^{\alpha}\,dy=\frac{y^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq-1.
  • Simetria do domínio + densidade dependente só de y garantiu \bar{x}=0.
  • As constantes k aparecem multiplicando massa e momentos, mas cancelam em \bar{y}.

Resposta

M=\dfrac{128}{5}\,k
\bar{x}=0
\bar{y}=\dfrac{20}{7}
I_{x}=\dfrac{2048}{9}\,k
I_{y}=\dfrac{512}{21}\,k

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