Em cada caso, calcule o volume do sólido descrito pelas desigualdades.
raizx^2+y^2 <= z <= 6-x^2-y^2

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo de volume envolvendo três dimensões. A questão é calcular o volume do sólido definido pelas desigualdades raizx^2+y^2 <= z <= 6 - x^2 - y^2. Para resolver isso, vamos precisar usar integração em coordenadas cilíndricas, que facilita o cálculo quando temos simetria circular no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas superfícies que delimitam o sólido:
  1. Cone: A desigualdade raizx^2+y^2 <= z representa um cone que se abre para cima.
  2. Paraboloide: A desigualdade z <= 6 - x^2 - y^2 representa um paraboloide que se abre para baixo.
Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, precisamos identificar a área onde elas se intersectam.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção das duas superfícies igualando as expressões de z:
raizx^2+y^2 = 6 - x^2 - y^2
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Assim, raizx^2+y^2 = r. Substituindo na equação:
r = 6 - r^2
Rearranjando:
r^2 + r - 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Como r representa uma distância, descartamos a solução negativa:
r = 42 = 2
Então, a interseção ocorre quando r = 2.

Passo 4

Agora que sabemos que as duas superfícies se encontram no círculo de raio 2, podemos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume V é dado por:
V = integral0^2pi integral0^2 integralr^6 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui:
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • r varia de 0 a 2, o raio do círculo de interseção.
  • z varia de r (a superfície do cone) até 6 - r^2 (a superfície do paraboloide).

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integralr^6 - r^2 dz = (6 - r^2) - r = 6 - r^2 - r
Agora, multiplicamos pelo fator r e integramos em relação a r:
integral0^2 r(6 - r^2 - r) , dr = integral0^2 (6r - r^3 - r^2) , dr
Integrando termo a termo:
integral 6r , dr = 3r^2
integral r^3 , dr = r^44
integral r^2 , dr = r^33
Substituindo os limites de 0 a 2:
3(2)^2 - (2)^44 - (2)^33 = 12 - 4 - 83 = 8 - 83 = 163
Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 163 , dtheta = 163 times 2pi = 323pi

Resposta

O volume do sólido é dfrac323pi unidades cúbicas.

Exercícios relacionados