Em cada caso, calcule o volume do sólido descrito pelas desigualdades.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo de volume envolvendo três dimensões. A questão é calcular o volume do sólido definido pelas desigualdades
. Para resolver isso, vamos precisar usar integração em coordenadas cilíndricas, que facilita o cálculo quando temos simetria circular no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas superfícies que delimitam o sólido:
- Cone: A desigualdade
representa um cone que se abre para cima. - Paraboloide: A desigualdade
representa um paraboloide que se abre para baixo.
Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, precisamos identificar a área onde elas se intersectam.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção das duas superfícies igualando as expressões de
:
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
. Substituindo na equação:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como
representa uma distância, descartamos a solução negativa:
Então, a interseção ocorre quando
.
Passo 4
Agora que sabemos que as duas superfícies se encontram no círculo de raio 2, podemos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
Aqui:
-
varia de a para cobrir todo o círculo. -
varia de a , o raio do círculo de interseção. -
varia de (a superfície do cone) até (a superfície do paraboloide).
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, multiplicamos pelo fator
e integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites de
a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.