Calcule a massa de uma bola de raio R, se a densidade de massa no ponto P da bola é proporcional à distância r do ponto P ao centro da bola.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa calcular a massa de uma bola com raio R. A densidade de massa em cada ponto P dentro da bola é proporcional à distância r desse ponto até o centro da bola. Isso significa que, quanto mais longe do centro, maior a densidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de massa através de integrais e entender um pouco sobre densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a densidade rho nesse problema não é constante. Ela varia com a distância r ao centro da bola. A expressão "proporcional a r" significa que podemos escrever a densidade como:
rho(r) = k cdot r
Onde k é uma constante de proporcionalidade.

Passo 3

Para encontrar a massa total M da bola, precisamos integrar a densidade sobre todo o volume da bola. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV é dado por:
dV = 4pi r^2 dr

Passo 4

Agora, substituímos a expressão da densidade na integral da massa:
M = integral rho(r) , dV = integral0^R k cdot r cdot 4pi r^2 dr

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
M = 4pi k integral0^R r^3 dr

Passo 6

Calculando a integral de r^3 em relação a r:
integral r^3 dr = r^44
Aplicando os limites de 0 a R:
R^44 - 0^44 = R^44

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da massa:
M = 4pi k cdot R^44 = pi k R^4

Passo 8

Como o problema não nos dá o valor de k, podemos deixar a massa em termos de k e R:
M = pi k R^4

Resposta

A massa da bola é M = pi k R^4, onde k é a constante de proporcionalidade.

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