Calcule a massa de uma bola de raio
, se a densidade de massa no ponto
da bola é proporcional à distância
do ponto
ao centro da bola.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa calcular a massa de uma bola com raio
. A densidade de massa em cada ponto
dentro da bola é proporcional à distância
desse ponto até o centro da bola. Isso significa que, quanto mais longe do centro, maior a densidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de massa através de integrais e entender um pouco sobre densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a densidade
nesse problema não é constante. Ela varia com a distância
ao centro da bola. A expressão "proporcional a
" significa que podemos escrever a densidade como:
Onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Para encontrar a massa total
da bola, precisamos integrar a densidade sobre todo o volume da bola. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos a expressão da densidade na integral da massa:
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Passo 6
Calculando a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da massa:
Passo 8
Como o problema não nos dá o valor de
, podemos deixar a massa em termos de
e
:
Resposta
A massa da bola é
, onde
é a constante de proporcionalidade.