(1.1) Dado u=(a, b) um vetor unitário, utilize a definição para mostrar que Du f(0,0)=a^3, onde
f(x, y)=cc x^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

A questão pede pra calcular a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário u=(a,b). O conteúdo é derivada direcional em duas variáveis, e vamos usar a definição via limite.

Passo 2

Pela definição, a derivada direcional de f em (0,0) na direção u é
Duf(0,0)=limtto0f(0+ta,,0+tb)-f(0,0)t

Passo 3

Como f(0,0)=0 e para (x,y)≠(0,0) vale f(x,y)=x3/(x2+y^2), temos
f(ta,tb)=(ta)^3(ta)^2+(tb)^2=a^3t^3t^2(a^2+b^2)=a^3t, pois u é unitário, logo a2+b2=1.

Passo 4

Substituindo em f(ta,tb)t
f(ta,tb)t=a^3tt=a^3

Passo 5

Como esse quociente independe de t, o limite quando t→0 é simplesmente a^3.

Resposta

D_{u}f(0,0)=a^3

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