Em cada caso, identifique o sólido
e calcule seu volume por integração tripla.
é delimitado pelo plano
e pelas superfícies
e
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o sólido Ω e calcular seu volume por integração tripla. Aqui Ω é limitado inferiormente pelo plano xy (z=0), superiormente pela superfície z=√(x²+y²) e lateralmente pelo cilindro x²+y²=2x. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, pois a curva x²+y²=2x fica simples nesse sistema.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos x=r cosθ, y=r sinθ e x²+y²=r². A curva x²+y²=2x vira r²=2r cosθ, ou seja r=2 cosθ. Como r≥0, temos cosθ≥0, logo θ∈[-π/2,π/2] e r varia de 0 a 2 cosθ.
Passo 3
O volume em coordenadas polares é dado por
Aqui o Jacobiano é r e os limites de z vão de 0 até r = √(x²+y²).
Passo 4
Primeiro integramos em z e depois em r:
Então
Passo 5
Por fim, integramos em θ:
Pois
.