Em cada caso, identifique o sólido Omega e calcule seu volume por integração tripla.
Omega é delimitado pelo plano x y e pelas superfícies x^2+y^2=2 x e z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o sólido Ω e calcular seu volume por integração tripla. Aqui Ω é limitado inferiormente pelo plano xy (z=0), superiormente pela superfície z=√(x²+y²) e lateralmente pelo cilindro x²+y²=2x. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, pois a curva x²+y²=2x fica simples nesse sistema.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=r cosθ, y=r sinθ e x²+y²=r². A curva x²+y²=2x vira r²=2r cosθ, ou seja r=2 cosθ. Como r≥0, temos cosθ≥0, logo θ∈[-π/2,π/2] e r varia de 0 a 2 cosθ.

Passo 3

O volume em coordenadas polares é dado por
V=integral triplaΩ dV=integralθ=-π2^π2integralr=0^2cosθintegralz=0^rr,dz,dr,dθ
Aqui o Jacobiano é r e os limites de z vão de 0 até r = √(x²+y²).

Passo 4

Primeiro integramos em z e depois em r:
integralz=0^rr,dz=rl[zr]0^r=r·r=r² ²
Então
integralr=0^2cosθr²,dr=l[tfracr^33r]0^2cosθ=tfrac8cos^3θ3 ².

Passo 5

Por fim, integramos em θ:
V=integral-π2^π2tfrac8cos^3θ3,dθ=tfrac83cdot2integral0^π2cos^3θ,dθ=tfrac163cdottfrac23=tfrac329
Pois integral0^π2cos^3θ,dθ=2/3.

Resposta

329

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