Em cada caso, calcule o volume do sólido descrito pelas desigualdades.
0 <= x <= z <= 1-y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido definido pelas desigualdades 0 ≤ x ≤ z ≤ 1–y². O conteúdo aqui é integral tripla para volumes em coordenadas cartesianas. Vamos precisar interpretar os limites para y, z e x, montar a integral iterada e avaliá-la.

Passo 2

Para entender o domínio, note que z ≤ 1–y² impõe 1–y² ≥ 0, ou seja –1 ≤ y ≤ 1. Além disso, z varia entre 0 e 1–y², e para cada z, x varia de 0 até z. Logo podemos escrever o domínio como: y ∈ [–1,1], z ∈ [0,1–y²], x ∈ [0,z].

Passo 3

Montamos então a integral tripla do volume V:
V = integraly=-1^1 integralz=0^1-y^2 integralx=0^z dx,dz,dy

Passo 4

Primeiro integramos em x:
integralx=0^z dx = z
Assim
V = integral-1^1 integral0^1-y^2 z,dz,dy

Passo 5

Agora integramos em z:
integral0^1-y^2 z,dz = gl[tfrac12 z^2gr]0^1-y^2 = tfrac12(1-y^2)^2
Então
V = tfrac12 integral-1^1 (1-y^2)^2 ,dy

Passo 6

Para calcular integral-1^1(1-y^2)^2 dy note a função par e use simetria:
integral-1^1(1-2y^2+y^4)dy = 2integral0^1(1-2y^2+y^4)dy
Calcule:
integral0^1(1-2y^2+y^4)dy = l[y - tfrac2y^33 + tfracy^55r]0^1 = 1 - tfrac23 + tfrac15 = tfrac815
Logo
integral-1^1(1-y^2)^2 dy = 2cdottfrac815 = tfrac1615

Passo 7

Por fim, multiplicamos pelo tfrac12 que estava fora da integral:
V = tfrac12 cdot tfrac1615 = tfrac815

Resposta

tfrac815

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