Em cada caso, calcule o volume do sólido descrito pelas desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido definido pelas desigualdades 0 ≤ x ≤ z ≤ 1–y². O conteúdo aqui é integral tripla para volumes em coordenadas cartesianas. Vamos precisar interpretar os limites para y, z e x, montar a integral iterada e avaliá-la.
Passo 2
Para entender o domínio, note que z ≤ 1–y² impõe 1–y² ≥ 0, ou seja –1 ≤ y ≤ 1. Além disso, z varia entre 0 e 1–y², e para cada z, x varia de 0 até z. Logo podemos escrever o domínio como: y ∈ [–1,1], z ∈ [0,1–y²], x ∈ [0,z].
Passo 3
Montamos então a integral tripla do volume V:
Passo 4
Primeiro integramos em x:
Assim
Passo 5
Agora integramos em z:
Então
Passo 6
Para calcular
note a função par e use simetria:
Calcule:
Logo
Passo 7
Por fim, multiplicamos pelo
que estava fora da integral: