O enunciado pede que a gente explique, para cada um dos três testes de convergência (Integral, Comparação e Série Alternada), como usar o teste não só para mostrar convergência, mas também para estimar (ou limitar) o valor da soma da série. Vamos precisar usar as estimativas de resto (diferença entre soma infinita e soma parcial) que cada teste fornece.
Passo 2
No Teste da Integral, supondo que tenhamos uma série de termos positivos $$ com $S=\sum_{n=1}^\infty a_n$\ pode ser aproximada por uma integral imprópria. A estimativa de resto $$R_N=S-\sum_{n=1}^N a_n$\ satisfaz
Assim, escolhemos $\sum_{n=1}^N a_n$\ como aproximação de $$S$.
Passo 3
No Teste da Comparação, se temos $\sum b_n$ converge e é fácil de somar ou estimar o resto, então
Logo, nos apoiamos na série maior $N$ tal que $\sum_{n=1}^N a_n$\ como aproximação de $$S$.
Passo 4
No Teste da Série Alternada, para uma série da forma $a_n$ positivos decrescentes que tendem a zero, a estimativa de resto é simples:
Então basta somar até um |RN| = l|S-sumn=1^N (-1)^n-1anr| <= aN+1 a_{N+1}$\ seja menor que a tolerância que queremos, e então $ Então basta somar até um áçãS$.
Resposta
(a) Pelo Teste da Integral, calcule a soma parcial $sumn=1^N an$ e escolha N$ tal que
tal que
para ter $$|S-\sum_{n=1}^N a_n|<\varepsilon$. (b) Pelo Teste da Comparação, ache uma série integralN^infty f(x),dxa_n\le b_n$ e use