(a) Se uma série for convergente pelo Teste da Integral, como você estima sua soma?
(b) Se uma série for convergente pelo Teste da Comparação, como você estima sua soma?
© Se uma série for convergente pelo Teste da Série Alternada, como você estima sua soma?

Passo 1

O enunciado pede que a gente explique, para cada um dos três testes de convergência (Integral, Comparação e Série Alternada), como usar o teste não só para mostrar convergência, mas também para estimar (ou limitar) o valor da soma da série. Vamos precisar usar as estimativas de resto (diferença entre soma infinita e soma parcial) que cada teste fornece.

Passo 2

No Teste da Integral, supondo que tenhamos uma série de termos positivos $ an=f(n)$$ com $ com $ contínua, positiva e decrescente, a soma íS=\sum_{n=1}^\infty a_n$\ pode ser aproximada por uma integral imprópria. A estimativa de resto $$R_N=S-\sum_{n=1}^N a_n$\ satisfaz
S=sumn=1^infty an
Assim, escolhemos $ RN=S-sumn=1^N an$ satisfaz â\sum_{n=1}^N a_n$\ como aproximação de $$S$.

Passo 3

No Teste da Comparação, se temos $ 0<= an<= bn$ e sabemos que \sum b_n$ converge e é fácil de somar ou estimar o resto, então
conver>= e é fácil de somar ou estimar o resto, então
Logo, nos apoiamos na série maior $ RN = S-sumn=1^N an <= sumn=N+1^infty bn N$ tal que $ Logo, nos apoiamos na série maior ã\sum_{n=1}^N a_n$\ como aproximação de $$S$.

Passo 4

No Teste da Série Alternada, para uma série da forma $ sum (-1)^n-1an$ com a_n$ positivos decrescentes que tendem a zero, a estimativa de resto é simples:
positivos decrescentes que tendem a zero, a estimativa de resto é simp<=s:
Então basta somar até um |RN| = l|S-sumn=1^N (-1)^n-1anr| <= aN+1 a_{N+1}$\ seja menor que a tolerância que queremos, e então $ Então basta somar até um áçãS$.

Resposta

(a) Pelo Teste da Integral, calcule a soma parcial $ sumn=1^N an$ e escolha N$ tal que
tal que
para ter $$|S-\sum_{n=1}^N a_n|<\varepsilon$. (b) Pelo Teste da Comparação, ache uma série integralN^infty f(x),dxa_n\le b_n$ e use
para ter
© Pelo Teste da Série Alternada, some até $ |S-sumn=1^N an|a_{N+1}<\varepsilon$; então
bn

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